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これも選択公理から新しい少数が作れるってことなんですかね。
これ例えば、少数点以下一桁の少数に1〜9の番号を振り、二桁の数に10〜99までの番号を振り、三桁の数に100〜999までの番号を振り、…って無限にやれば、全単射可能になりませんか？
もちろん無限にできないから有理数だけになってしまうってのはわかるんですが…
一旦有理数・無理数の分類を取っ払って、上記の操作を無限にやれば、開区間(0,1)を網羅する事になりませんか？
はじめて対角線論法きいて納得できました
めっちゃわかりやすいです
定義域(0、1)か値域:(0～∞)の
対応関係はいくらでも作れるらしいですけども、
f(x)→x/(1―x)or
f(x)→(1-x)/x
(定義域は開集合(0,1))
とかは、例としてどうでしょうか？
対角線に選べないような状況が有るので、自然数と有理数の一対一対応の考えは前提として
絶対必要?
(0,1)からℝへの全単射はf(x)=(2x-1)/x(1-x)でもええ
bが(0,1)の元であることはどう示すのでしょうか？
出ましたアレフ、趣味中の趣味です笑
実数の少数表示の一意性については確かにその根幹と構成に関わるので少し厄介ではありますが、良心でもって眺めればカントールの考えたように感じることが出来ますね、カントール自身も自分で示していったこと、現れることに結構困惑したらしいですけれども。
よくなされるのは二進展開の方ですが、二進展開でつまづく人もいるかもしれないし、とはいえそういうところがそもそも完備な順序体としての実数に迫るところなので説明に、というか準備が辛いところでしょうか。
次回の一般のpower set、無限の無限系列の始まりについても楽しみです。