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微分方程式を勉強するときに最初に学ぶパターンである「可分形式」について話しました。 一見難しそうに見える形でも、この変数分離の形に置き換えられることが多いので、応用範囲の広い解です。 後半は、カテナリーと呼ばれる曲線方程式が成り立つ微分方程式(これも少し変形すると変数分離形式になります)を解きました。[Correction]14:45頃の(2)の最後の式では、後ろに別の積分定数が必要です。 公式変形チャンネルでは、様々な数学を勉強する動画を毎日アップしています。

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変数分離形の微分方程式の解き方
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8 thoughts on “変数分離形の微分方程式の解き方 | 微分 方程式 解き方に関する最も完全な文書の概要

  1. fat_monkey says:

    (1)の微分方程式を解く際に、y=0は自明な解なので、それを除外して考えれば両辺をy^2で割っても良いと説明されていますがやや正確ではないと思いました。
    たとえyが恒等的に0でないとしても、0となる点があれば両辺をy^2で割ることはできないのではないでしょうか。

    以下、自分なりにy^2で割っても良い理由を説明してみました。

    まず、yの定義域を任意の有界領域に制限すると方程式の右辺の関数はリプシッツ連続だから、解の一意性が成り立ちます。よって非自明な解で、そのグラフがy=0のグラフと交わるものは存在しないことが分かります。したがって、両辺をy^2で割ることが正当化されます。
    上ではyの定義域を制限して考えましたが、このようにして求めた解は実数全体で定義され、かつ方程式を満たします。

    恐らく、投稿者の方は説明がややこしくなるのを避けるためにあえて省略されたのでしょう。

    長文失礼しました。

  2. Naonori Koyama says:

    いつもありがとうございます。(1) の下から二つ目の積分の左辺で、d y/d x dx は、d xとd xが約分されて、d yになるという説明は正しくないと思います。分数ではないからです。正しくは置換積分によるものです。わかりやすく説明しようとされたのだと思いますが〜〜

  3. H tmg says:

    (2)の一番最後の積分にて、新たな積分定数が現れるのではないですか? 2階常微分方程式では、積分定数が2個(2種類:C1, C2)存在するはず…

  4. ららたむ says:

    カテナリー曲線の動画から見てきました。
    双曲線関数を背景にした入試問題はよく見るのでsinhやcoshは性質や公式だけ覚えて使っていましたがこのような導出をするのですね。
    まだ大学生ではないのですが、どうしても自分のしてる勉強の先に興味があってつい逸れてしまいます笑
    このような動画は数が少なくとてもためになります。これからも楽しく見させていただきます。

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