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48 thoughts on “学びの多すぎる整数問題の最高傑作【数学オリンピック】 | 関連情報数学 オリンピック 難問の新しい更新をカバーします

  1. シャイニングスターリン says:

    解けた👍🏻
    来月に数オリ控えてる身としてはこの問題は取らないとね

  2. 棒人間二号 says:

    これが数学オリンピックの問題か…
    一見シンプルなのにいろいろな要素が詰めてあっておもしろい✨

  3. らむね / Pamyhe says:

    3367と正の整数という事からn>11っていうのと、x≡1 (mod2)って言うことは導けたけど
    mod7考えて手が止まった。数オリの問題は難しいな

  4. 宇治抹茶 says:

    答えが合ってて嬉しかったけど、自分の場合はこれほどの解法は思いつかない…
    (2の12乗は、2の13乗は…という感じで3367をひたすら引いてました…)

  5. Friends hi says:

    いつでも良いから、マスターデーモン挑戦ライブとかやってほしい。
    もう河野さんなら既に知ってる問題かな?

  6. 藤本春樹 says:

    自己レスです。
    2^n:(2→4→1)→(2→4→1)の板書で示されてましたね。すみません。3の倍数+1の時の余りは2、3の倍数+2の時の余りは4。一方でxの3乗の時の余りは0,1,6。なので、因数分解できたらいいなぁと思って3の倍数にした仮定が期せずして当たってたと。

  7. 藤本春樹 says:

    すごいですね。ふと疑問なんですが、nが3の倍数じゃない可能性についてはどうなんでしょうか?例えばn=3m+1もしくは3m+2

  8. aotenjo青天井 says:

    少なくとも3367より大きい2の12乗の4096から試しにやったら答え出ちゃったけどこれ以外に解が無いことを示せてなくてダメだった笑

  9. atsushi okada says:

    解説素晴らしいです。なぜその解法を思いつくのかを説明いただくことが、受験生のためになると思います。

  10. Poribukuro says:

    3367=2^12-9^3
    に気づけば、
    x^3-9^3=2^n^-2^12
    になって、両辺見比べれば
    x=9, n=12は簡単に出ます。

    これが唯一の答えであることを別途示さないといけませんが。

  11. Sour 's says:

    2^m-x=37,13,7,1出して、
    2^n>3367からm≧4だから
    MOD4でx=1にしかならないことを使って2^m-x=7に絞った

  12. カンパネラ says:

    2の倍数で3367より大きい4096,8192と順にやっていこうとやっていたら結構早めにできた

  13. コンパスCompass says:

    これ3367以上の2の階乗の最小の数字は4,496で、この時のxは9
    って分かるんだけど、
    ここから差を使ってこれ以外に解は存在しないことを示せそうなんだけど、できないかなー?

  14. 伊藤テリー says:

    MOD 7を考えるときに、nが3の倍数であることを示したい、つまり、2^nの、その法において取る値の周期が3の倍数となるような法を考えたい。これはフェルマーの小定理より2と互いに素で3k+1(k≧0)と表される数である。という議論から7を法にしようという発想に至りました。

  15. あごりん says:

    3367を2の12乗引く729にして解いても綺麗に解けましたよ、729が9の3乗なので3乗引く3乗の式を使いました

  16. 1 Arctan says:

    6:47
    n=4の時も当てはまるってところおかしくないですか!!
    m=4ならわかりますが、、(mは整数)
    nが3の倍数ではない時、2^nは7で割ると2と4が余りであり、たまたまx^3のmod7は1と6で被ってなかったので、動画のでは全通り調べられたようになっている気がします。
    →nが3の倍数の時2^nを7で割ると1余るからnは3の倍数という仮定は正しく、これしか方程式が成立しない。

  17. Flare Game says:

    問題の意図より裏にある条件に気が行くので、n=12以上である事は明らかであるから近い値になるxを想像するのが一番最初に思いついてしまいますね

  18. 大森雄太 says:

    全然違う解法でやったけど計算量がエグすぎた。解法載せます

    x^3+3367=2^n(自然数x,n)

    xは奇数ゆえ、x=2k+1(kは0以上の整数)で表せる。
    (2k+1)^3+3367
    =8k^3+12k^2+6k+1+3367
    =2(4k^3+6k^2+3k+1684)
    4k^3+6k^2+3k+1684は偶数のためkは偶数
    k=2tとすると(tは0以上の整数)
    4k^3+6k^2+3k+1684
    =32t^3+24t^2+6t+1684
    =2(16t^3+12t^2+3t+842)
    16t^3+12t^2+3t+842は偶数のためtは偶数
    t=2sとすると(sは0以上の整数)
    16t^3+12t^2+3t+842
    =128s^3+48s^2+6s+842
    =2(64s^3+24s^2+3s+421)
    64s^3+48s^2+3s+421は偶数のためsは奇数。x=2k+1=8s+1と表せるため、xは8で割ると1余る数。
    64s^3+24s^2+3s+421
    =8(8s^3+3s^2+52)+3s+5
    sが奇数ゆえ8s^3+3s^2+52は奇数。したがって8(8s^3+3s^2+52)は8の倍数ではあるが、16の倍数ではない。
    64s^3+24s^2+3s+421=2^nのため、3s+5は8の倍数。もし3s+5が16の倍数ならば、8で割った余りが奇数+偶数で奇数となってしまうため不適。
    したがって3s+5は8の倍数であって16の倍数ではない。
    3s+5=8(2p+1)とすると(pは0以上の整数)
    3(s-1)=16p
    よってsは16の倍数+1
    s=16q+1とする(qは0以上の整数)
    64s^3+24s^2+3s+421=Aとすると
    q=0のときA=512
    q=1のときA=314432+6936+51+421=321840
    q=2のときA=2299968+26136+99+421=2326624
    q=0の場合のみ可能と推測できるので、q≧1の場合にA≠2^nとなることを数学的帰納法で証明する。
    q=1の場合は上記より不適。
    q=y(≧1)においてA≠2^nとなると仮定する。
    64(16y+1)^3+24(16y+1)^2+3(16y+1)+421
    =262144y^3+49152y^2+3072y+64+6144y^2+768y+24+48y+3+421
    =262144y^3+55296y^2+3888y+514
    =4096A-43008y^2-8400y-1723902
    43008y^2+8400y+1723902について考える
    43008y^2+8400y+1723902
    =2(21504y^2+4200y+861951)
    21504y^2+4200y+861951は奇数のため2で割りきれない。よってq=y+1も不適。
    したがってq≧1の全てのqにおいてA≠2^n
    よって条件を満たすqは0のみとなる。
    ゆえs=1
    t=2,k=4,x=9
    9^3+3367=729+3367=4096=2^12
    よってn=12
    以上より(x,n)=(9,12)

  19. 永遠の名無しさん says:

    いつも、河野くんの動画流しっぱなしにして内職(課題)やってます!学校の授業でも内職してたのでなんか凄い集中できますwいい意味で

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