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12 thoughts on “重心の存在[今週の定理・公式No.14] | 重心 証明に関連するすべてのコンテンツは最高です

  1. Couch Tomato says:

    この内容(1点で交わるとか比が1:2とか)って中学では暗記になるんだっけ?

  2. 琴葉 茜 says:

    今週の定理・公式の再生リストに関係ない他チャンネルの動画が入ってますよ

  3. 合八一合のYouTube数学 says:

    備忘録👏。【 三つの中線が 1点で交わることの証明 】
    1. チェバの定理が最速 2. (通常)ベクトルもOK
    〖 中線を頂点から 2 : 1 に内分する点 〗〖 g*= ( a*+b*+c* )/3 〗■

  4. たま says:

    <ベクトルによる別証明>:(3点A,B,Cの対等性を利用)

    △ABCと同一平面上の任意の定点をOと置く。

    BCの中点をL, CAの中点をM, ABの中点をN, ANの中点をPと置く。

    BMとCNの交点をG_1, CNとALの交点をG_2, ALとBMの交点をG_3と置く。

    中点連結定理によりMP//CN。

     ∴BG_1:MG_1 = BN:PN = BN:(AN/2) = 2:1

     ∴vecAG_1 = (1/3)vecAB + (2/3)vecAM

          = (1/3)vecAB + (2/3)(1/2)vecAC

          = (1/3)vecAB + (1/3)vecAC …①。

    一方


     vecOA = (1/3)vecOA + (1/3)vecOA + (1/3)vecOA …②。

    ①,②を辺々加えると

     vecOA+vecAG_1 = (1/3)vecOA + (1/3)(vecOA+vecAB) + (1/3)(vecOA+vecAC)

     ∴ vecOG_1 = (1/3)vecOA + (1/3)vecOB + (1/3)vecOC。

    前式においてA,B,CをそれぞれB,C,Aで置き換えることにより

     vecOG_2 = (1/3)vecOB + (1/3)vecOC + (1/3)vecOA。

    再び前式においてA,B,CをそれぞれB,C,Aで置き換えることにより

     vecOG_3 = (1/3)vecOC + (1/3)vecOA + (1/3)vecOB。

    従って3点G_1, G_2, G_3は一致し、3中線BM,CN,ALが1点で交わることが意味される。■

  5. 肉体覇王Jalmar says:

    ワイはメネラウスを使う( ˘ω˘)
    メネラウスの定理より|AG|:|GP|=2:1
    CG=1/3*CA+2/3*CP=1/3*CA+1/3*CB
    CR'=kCG=k/3(CA+CB)
    R'は辺AB上にあるからk/3+k/3=1 k=3/2 よって CR'=(CA+CB)/2
    R'は辺ABの中点 ゆえにRとR’は一致する

  6. MT 数学・数学史 says:

    今までのこのシリーズとは趣が少し変わって、非王道、というか伝統に依らない面白い証明を用意なされたんですね。学校では時間の制約(か何か)でなされないように、色々なアプローチでかつ学んできたことの復習にもなるような楽しい内容でした👍🏻

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