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最後のところ、x_k≦y_kとしても一般性は失われない、というのを利用するのならば、
x_k≦y_kならばx_(k+1)≦y_(k+1)も示しておかなければならないのではないでしょうか？
10:43 で、Xk≧Yk だったら、Xk+1=-28Xk+35Yk が負の数になり得ますけどそれについては言及しなくてもいいんですか？
問題の出し方が良くない。存在を示すのが一つのnなのか、すべてのnなのかわからないので、この動画は低評価とします
いつも受験前西暦素因数分解してたわ
ガウス環のノルム使うのが手っ取り早いですね
z=35+28i,w=35-28iとおくときz^n=a+bi(a,bは整数)とすればw^n=a-biで
2009^n
=(zw)^n
=z^nw^n
=(a+bi)(a-bi)
=a^2+b^2
となります
円を使って上手く説明できないかな
受験から離れてもう数年経つから強くは言えないけどw
その年の素因数分解は知っとけって話しよな
絶対値つけて
x_k+1 = | 28x_k – 35y_k |
としまうのも一つの手
9:14 よく帰納法で使われるk+1の形になってないけどxk+1,yk+1って置いていいのかな？
どっかの国の数学オリンピックの問題で似たようなのみたなぁ
nが偶数と奇数で場合分けすると少し強引に(x,y)の一般解がだせるような
えっっっぐ!!!
ラグランジュの恒等式ってやつですね！
誘導がなくてもn＝1,n＝2の場合を示しておいてn＝kからn＝k+2で帰納法を使えば単純にx,yを2009倍するだけでいけそう。n=2については、途中で出てくる41を2乗すると1681⇒これは40と9の2乗に分解できることに気づけばx,yは40×49と9×49で案外簡単に見つかる。
n=1で実験して意味あるの？と思ったんですが…これは実験してないと詰みますね
これは誘導がないと相当厳しいと思います。私は誘導を見ずに散々考えましたが、全然進まず、、誘導あれば解けました。
フェルマーの二平方和定理を証明しても解いたことになりますね！
存在することを示せなんだからn=1の時のx、y出して存在しますじゃダメなの？
ていうか存在することを示すんだから、帰納法ってなんかおかしくね。
帰納法って一般的に一個前が条件を満たすと仮定して、その一個後も条件を満たしてれば良いよね〜ってやつでしょ？
もし不定期にx、yが存在してるとしたら使えない。
誰かわかる人教えて下さい。
備忘録80V" 本問で帰納法は、思い付きにくい ←そこが急所👏
【 ( a²＋b² )( c²＋d² ) ＝ ( ac－bd )² ＋ ( ad＋bc )² ･･･① 】
x²＋y² ＝ 2009ⁿ を満たす 自然数 ( x, y ) が 存在する ･･･☆ とおく。
[ Ⅰ ] n＝ 1 のとき、x²＋y²＝ 2009¹ ＝ 7²・41＝ 7²・( 5²＋4² )＝ 35²＋28² だから、
( x, y )＝ ( 35, 28 ) として、 ☆は成り立つ。
[ Ⅱ ] n＝ k のとき、 x²＋y²＝ 2009^k を満たす自然数 ( Xk, Yk ) が 存在すると仮定すると、
n＝ k＋1 のとき、 2009^k+1＝ 2009^k・2009＝ ( Xk²＋Yk² )・( 35²＋28² ) ( ∵ 仮定 )
＝ ( 35・Xk－28・Yk )²＋( 28・Xk＋35・Yk )² ( ∵ ①を利用した )
対称性より、Xk ≧ Yk として、 Xk+1＝ 35・Xk－28・Yk, Yk+1＝ 28・Xk＋35・Yk
とすることにより、 このときも ☆は成り立つ。
[ Ⅰ ] [ Ⅱ ] より、任意の自然数 n について ☆は成り立つ■
「x^2+y^2=aとなる自然数(x,y)が存在するとき、
任意の自然数bに対してx^2+y^2=ab^2となる自然数(x,y)が存在する」
っていう事を使えば誘導無くても帰納法で示せそう
今思ったけど、パスラボで数学の問題を生放送にしてコメントで議論しながらやったらオンライン授業みたいになって盛り上がりそう。
ホワイトボードの問題だけを見るとn=1でx=28,y=35のときx²+y²=2009ⁿを満たす自然数の存在が確認されてるので、これだけで題意を満たすのでは？と思いましたがどうなのでしょう
この因数分解､結構好き
このBF恒等式の出題は2021に横国がBFになる伏線だったのか
問題文が全称命題なのか存在命題なのか分からない。