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【難関大】整数問題の全パターンをマスターして差をつけろ！。
整数 問題 良 問。
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「②の形にできれば、後は①③で絞り込み」
これで一橋１完ゲットだぜ
これは簡単by高２
3乗-3乗の因数分解
約数を書き出す
でやることは終わりやんな
候補を絞るテクニックは試験本番では迷う暇があったらある程度で打ち切って全部代入すべし
タクシー数知ってたから瞬殺しちゃった
俺も受験生の時にこういう人に出会いたかったよ
m³ + 1³ = n³ + 10³ <=> m³ – n³ = 999 …(*) であることに注意してください。
f(x) = x³ と ℤ をすべての整数の集合とします。 f(m) – f(n) = 999 で m, n ∈ ℤ の場合:
[1] f は厳密に増加 ⇒ m>n
[2] d≥18 or d≤-19 の場合:
f(d+1) – f(d) = 3d² + 3d + 1 > 3d(d+1) ≥ 3(18)(19) = 1026 > 999 ⇒ |m|≤18 & |n|≤18
[3] |p|≤7 & |q|≤7 の場合: [1] ⇒ f(p) – f(q) ≤ f(7) – f(-7) = 2(7³) < 999 ⇒ |m|≥8 or |n|≥8
[4] f(-n) – f(-m) = (-n)³ – (-m)³ = m³ – n³ = 999
[1]、[2] と [3] ⇒
8≦m≦18 (& -18≦n<m≦18) …(C1)
or -18≤n≤-8 (& -18≤n<m≤18) …(C2)、
[4] ⇒
(C1) からのすべての解は、(C2) からの互いに"一つ一つに"関連付けられます。
f は全単射であるため、(C1) からの 11 個の可能な解セットのみをテストすると、(C2) からの他のすべての解セットが識別されます。
(*) により、n = (m³ – 999)¹ᐟ³ なので (カーソル付きの電卓を使用すると役立ちます):
m = 8 ⇒ n = (-487)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 9 ⇒ n = (-270)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 10 ⇒ n = (1)¹ᐟ³ = 1 ∈ ℤ;
m = 11 ⇒ n = (332)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 12 ⇒ n = (729)¹ᐟ³ = 9 ∈ ℤ;
m = 13 ⇒ n = (1198)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 14 ⇒ n = (1745)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 15 ⇒ n = (2376)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 16 ⇒ n = (3097)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 17 ⇒ n = (3914)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
m = 18 ⇒ n = (4833)¹ᐟ³ ∉ ℤ。
解集合は (m,n) ∈ {(-9,-12), (-1,-10), (10,1), (12,9)} です。
Original English version:
N.B. m³ + 1³ = n³ + 10³ <=> m³ – n³ = 999 …(*).
Let f(x) = x³ and ℤ be the set of all integers. If f(m) – f(n) = 999 where m, n ∈ ℤ,
[1] f is strictly increasing ⇒ m>n;
[2] f(d+1) – f(d) = 3d² + 3d + 1 > 3d(d+1) ≥ 3(18)(19) = 1026 > 999 when d≥18 or d≤-19 ⇒ |m|≤18 & |n|≤18;
[3] if |p|≤7 & |q|≤7, [1] ⇒ f(p) – f(q) ≤ f(7) – f(-7) = 2(7³) < 999 ⇒ |m|≥8 or |n|≥8;
[4] f(-n) – f(-m) = (-n)³ – (-m)³ = m³ – n³ = 999.
[1], [2] & [3] ⇒
8≤m≤18 (& -18≤n<m≤18) …(C1)
or -18≤n≤-8 (& -18≤n<m≤18) …(C2);
[4] ⇒ every solution under (C1) associates with exactly one another under (C2).
As f is bijective, testing only 11 possible solution sets under (C1) would identify all other solutions sets under (C2).
By (*), n = (m³ – 999)¹ᐟ³, so (a calculator with cursor helps):
m = 8 ⇒ n = (-487)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
(see Japanese version for 9≤m≤17)
m = 18 ⇒ n = (4833)¹ᐟ³ ∉ ℤ.
The solution set is (m,n) ∈ {(-9,-12), (-1,-10), (10,1), (12,9)}.
ラマヌジャン「3秒で解いてみた！」
うｐ主のようにスマートな解答はできないので候補を
999=1*999～27*37に絞ったら総当たりで調べました。
結果オーライでしたが。
伊沢Taxi🚕
これレベル別問題集にも載ってたな
自分が受験生のとき、こんな動画が有ったら数学が好きになってた筈です。
25歳だけ若返りたいなぁ。。。
4:19からよくわかんないです、、
中学生です！！！似たような問題が京大にもあったため、河野玄斗さんの問題をサムネから解くことができました！！
解説がすごくわかりやすいです！！
やっと初見で整数問題解けた
中3だけどできた
タクシー数知ってたら余裕なやつ
ラマ又ジャン
リピ回数把握用
😀
4:03
m.nが整数だから、でm.nを正の整数としている理由が分かりません
京大で似たような問題あったけどこっちの問題は背景がタクシー数だから答えは自明だしそれに辻褄合わせるだけだから割と楽だった
くっそわかりやすい
ラマヌジャンのおかげでカンタンにトケルジャン
この問題青チャートの総合問題のやつや笑笑
もはや無料で見ていいのか不安になる
タクシーで数の面白さを語れる人初めて知った
青チャートの総合演習にあったー
珍しく高2夏前の時点で解けた唯一の一橋数学
n³+1³=m³+10³ (n,m≧2)
(n-m)(n²+m²+mn)=999
999=3³･37
n-m=aのとき、n²+m²+nm=a²+3mn
よって、
a=3kのとき、n²+m²+nm=3(3k²+mn)
a 3 9
a²+3nm 333 111
mn 108 10
(a=37はa²+3mn=27より、a>a²(a>1)となり不適)
よって
n-m 3 9
nm 108=2²･3³ 10=2･5
n 12 10
m 9 1
n.m≧2より、
(n.m)=(12.9)
もう大学受験なんてとっくの昔に終わったのに何故か見てしまう。
何が怖いって、これって高一の範囲で解けるんだよな…