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【高校数学】今週の積分#19【難易度★】の積分 二乗に関する関連情報の概要
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積分 二乗に関連するいくつかの説明
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【高校数学】今週の積分#19【難易度★】。
積分 二乗。
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0:30 全然違くて泣いた🥺
<cf> 今週の積分シリーズ
・１つ目の問題：#1 → https://www.youtube.com/watch?v=vm7LcyupMs0
・１つ前の問題：#18 → https://www.youtube.com/watch?v=8EdkdPTl4K0
・次の問題：#20 → https://www.youtube.com/watch?v=DK5Y3_VStpM
【すぐに積分できる形】
1/sin²x→-1/tanx（覚えるべき）
tanx/2=tの置換でも解けるが時間がかかる
ごめんなさい、嘘ですって言われた瞬間スマホ投げました
○
手品のやつ、嘘です、って言われる前で止めて一生懸命計算して答え合わなくて何度も最初から計算法を聞き直して…をくりかえして、何回やっても合わないから、諦めて解説聞こうとしたら………、うそ、だ、と、………今週の積分問題以上に頑張ったの、に……
算数手品やるとき好きな数字1桁じゃないし計算面倒だからだいたい定数aでやっちゃう
∫(1/sin²x)dx=Iとおく
I=∫(1/cos²x)(1/tan²x)dx
=∫(tanx)'(1/tan²x)dx
=1/tanx+2I(∵(1/tan²x)'=-2cosx/sin³x)
したがって、I=-1/tanx +C
というゴリ押しで解いた
0:28~エイプリルフール(4月)だけに4ってか
別解:部分積分を用いたトリッキーな解法
発想:○'/○^nは積分すると分母の次数が下がり、簡単になる
↑今回の問題は一見この形がないため、自分で作りにいく。
∫1/sin^2xdx
=∫(1/cosx)(cosx/sin^2x)dx
=∫(1/cosx)(-1/sinx)'dx(商の微分の逆より)
=(1/cosx)(-1/sinx)-∫(-(-sinx)/cos^2x)(-1/sinx)dx(部分積分を用いた、分数関数の微分より)
=-1/sinxcosx+∫1/cos^2xdx
=-1/sinxcosx+tanx+C(積分の基本公式より)□
以下検算
=-1/sinxcosx+sinx/cosx+C(三角関数の基本公式より)
=(-1+sin^2x)/sinxcosx+C
=-(1-sin^2x)/sinxcosx+C
=-cos^2x/sinxcosx+C(三角関数の基本公式より)
=-cosx/sinx+C
=-1/tanx+C□
同様の発想を使う問題を今週の積分#70 で扱っていたので、良ければ見てみてください。https://www.youtube.com/watch?v=6mWSvFYrhFw&list=PLPoAdBMK9QlX20D4opXdqECi0bFUS3PhW&index=2&t=4s
解くことも可能です。
発想
Ⓐ1/cos²なら積分可能→無理矢理cosの形にする
Ⓑ分母が三角関数の二次の同次式→cos²で割る※気づきにくい
Ⓐ
I=∫1/sin²xdx
x=π/2-tと置換
t=π/2-x
dx=-dt
I=-∫1/sin(π/2-t)
=-∫1/cos²tdt (sin(π/2-t)=costより)
=-tant+C (積分の基本公式より)
=-tan(π/2-x) (t=π/2-xより)
=-1/tanx+C□ (tan(π/2-x)=1/tanxより)
このように、x=π/2-tの置換をすることにより、f(sin)の積分はf(cos)、f(cos)の積分はf(sin)の積分の問題に変えることができる。←非常に重要
Ⓑ
∫1/sin²xdx
=∫(1/tan²x)・1/cos²xdx (分母分子cos²で割った)
=∫(tanx)'/tan²xdx（微分の基本公式より）
=-1/tanx+C (商の微分公式の逆より(1/g)'=-g'/g²)
一般に、sin、cosの二次の同次式の逆数の積分は、分母分子cos²で割ることにより解ける。興味のある人は、以下の積分を練習として解いてみてほしい。
①∫1/sinxcosxdx
②∫1/(sin²x+sinxcosx)dx
③1/(sinxcosx+cos²x)dx
また、この方法を使うと、1/(x^2+1)の積分を逆順に辿る事ができる。
x=∫1dx
=∫1/(sin^2x+cos^2x)dx
=∫(1/(tan^2x+1))(1/cos^2x)dx（分母分子cos^2xで割った）
=∫1/(t^2+1)dt（t=tanxと置換した）
本質的には脳死置換とやっていることは同じため、三角関数のみで表された有理関数なら、倍角公式とsin²x+cos²x=1を駆使して、分母分子をcosの偶数乗で割ることにより、無理矢理tanの微分形の接触を作れる。
ex)
∫sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(2sin(x/2)cos(x/2))/((2sin(x/2)cos(x/2)+cos²x-sin²x)(sin²(x/2)+cos²(x/2)))
=∫2tan(x/2)/((2tan(x/2)+1-tan²(x/2))(tan²(x/2)+1))・1/cos²xdx
=∫2t/((2t+1-t²)(t²+1))dt
変形のポイントは、
①(偶数次の同次式)/(偶数次の同次式)の形にする
②(分子の次数)+2=(分母の次数)となるようにする
以下の問題も同様の方法で解けるので、興味のある人は考えてみてほしい。
①∫1/(1+sinx+cosx)dx
②∫1/(sinx+cosx)dx
③∫1/sin³xcosxdx
本日の板書ポイント6:24
そもそも自分の番号の下2桁が00だから÷3の時点で( *'ω')ﾌｧｯ!?ってなった
( *'ω')ﾌｧｯ!?
3で割り切れやんってって思ってたら嘘かい
この積分の答えを忘れていたため、わざわざご存じの必殺技tanx/2=tの置換を使って解くという事をした結果、結果が((tanx/2-1)/2tanx/2)とかいうクッソめんどくさい形になり、え…これどうやって……..と絶望的になった結果、2倍格の公式を思い出しめっちゃきれいな形になっていえぇぇぇぇぇぇぇぇいいいいいいいい！！！！！！！！！！！ってなるという超遠周りの別解がありますので皆さんお使いください（）
∫1/sin^2xdx
=∫1/tan^2xcos^2xdx
tanx=tと置くと1/cos^2xdx=dt
(与式)=∫1/t^2dt
=-1/t+Ｃ= – 1/tanx+Ｃ
って解いたんですけど合ってますか、、？
表記方法違うけど将棋ででんがんさんが出した積分
中国人ですが、大体分かる。数学はやっぱり通用言語ですね
付き合った人数を0で割る
→ロピタルの定理より分子(付き合った人数)は0
ロピタルってこう言うとき使えるのかとかはしらんw
結局、これは公式なので頭にたたき込めということですか？
これ実は分からなくても万用置換tanx/2で行けてしまうよね・・・
部分分数分解だと分母にsinなくて詰む。
チャートに公式として乗ってますね！
いつもありがとうございます
350／3になったんですけど
覚えた方が良い公式はありますよね。
数学は理解か暗記かという議論はありますが、
理解しない暗記(応用が効かない)
暗記しない理解(時間がかかる)
どちらも試験などの実践では使えない場合が多いですね
色々と試行錯誤しつつ、自分なりのバランスをとっていくことが必要かなと思いました。
アンパンマン カッコいい❗
びっくりマークの書き方が天才的
現在高2で予習で積分をしてるのですがこのレベルは解けたほうがいいですか？
計算しますた。
39→13+1=14→1+99=100→16×7=112
反例。
ゆえに、たくみの命題は偽であることが証明された。
自分の電話番号思い出せなかった
現在のアメリカ大統領を用いた数学マジックを言おうとしたけど忘れてました。
https://manaveemath.hatenablog.com/entry/2019/05/19/140000
正解はしましたが、別解は…ヤベー出てこねー？
1/xの積分ってln xではないんですか？
∫1/sin^2xdx=∫1/cos^2(π/2-x)dx=-tan(π/2-x)=-1/tanx+c ってやり方ありですかね？
受験生から３０秒を奪う教育系YouTuberの鑑
冒頭のギャグ?ですが、早口だったので計算が間に合わなかったですw
ガチすぎて「今週の積分」用のノート作っちゃった笑