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私も0<log(x)<x (x>1) から log(x)<2√x を使って logx/x→0 (x→∞) を示すのが好きですが，2段構えでなく1回で済ませたい人は直接log(x)<2√x (x>1)を(微分ででも)示してやればいいですね．係数2は忘れても大丈夫です.
log(x)<√xと厳し目の不等式にしても g(x):=√x-log(x) とおくとx>4で g'(x)>0 だから
g(x)>g(4)=2-log4=2(1-log2)=2log(e/2)>0 (∵ e=2.7…>2) ∴ g(x)>0 (x>4)．
不等式 log(x)<√x 自体はx>0で成立します. 0<x≦1では自明ですが，g(x)はx=4で極小かつ最小であることが増減からすぐわかるので，それでg(x)≧g(4)>0と示してもいい．
分数の形にしたら、分母分子で大小比較ができそうだなぁ→0ではさみうちできないかなぁ→というわけでとりあえず∞に近づけるから1より大きいときをかんがえると0より大きくなるから左側はクリアだなぁ→普通に比較して不等式出てきても意味ないなぁ→0にしたいという事で分母のみに変数がある形を目指したいなぁ→ルートの有利化でその形が出せそうだなぁ→普通にルートだけじゃだめだなぁ、でも有利化したら分子にx残るなぁ→分母にxがあったらokだなぁ→あっだったら、比較してだったら、ルートxで比較したやつにxで割ったらいけそう→やったね！！！！！！！！
ルート取るのは忘れてたわ残り１２日しっかりやりきる！
これ金沢大学で出たね
t=1/xと置換した時に、x→+0のとき、t→∞になるのはなぜですか？
やっぱりx=1/tにするのね!何となくそうかなーって思ってました笑
ちなみにlogx/x求める時に、⤵︎ ︎
0＜logx＜√xを使ってサンドイッチが使えるそうです😆
ロピタルの定理つよすぎる
e^xを用いたマクローリン展開的な証明を
前に習った気がします。
sqrt(x)の発想は賢い
(対数関数)/(整式)だから無限の発散速度が分母のほうが速いから0に収束ですかねぇ……
慶應で出たような…
2019理工大問1を参照せよ．
楽したいときはロピタルの定理で
lim[x→0+] xlogx=lim[x→0+] logx/x⁻¹=lim[x→0+] x⁻¹/-x⁻²=lim[x→0+] 1/-x⁻¹ =1/-∞=0
本質的には同じですが、
x＝e^(-t)
と置換すると、t→∞だから
(与式)＝e^(-t)・log(e^(-t))
＝-t/e^t→0 (t→∞)
ってなりますね！
x^xを右から0に近づけたら1になるからlog1=0って考えたけど、x^xが1に近づくのを示さないといけないよな
証明する時に一より大きい時に限定してる理由、誰か詳しく易しく教えて下さいm(__)m
logx/x<1の形で挟みたく、また今回はxを無限大に飛ばすので、x>1は自明として使って良いので、便宜的にその様に置いた、と言う認識で大丈夫ですか？？
x<<e^xとじゃのやちゅ
やるじゃん
0^0は定義されるとしたら1だから答え0っぽいなとは思えたけど、逆数にするのは知らなかった。。
調べてみると
lim(x→+0) x^x = 1 の証明の過程に今回の動画の解法使ってるサイトもちらほら。
なるほど〜！
いい情報得られました
ルート取ればいいのは知らなかった！
ありがとうございます🙇♂
朝早いですね