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興味深い話でした
数学の授業でこれ出されたので解説助かります…
a^2+16=b^2と言う問題でa=±3,ｂ=±5と解答したら、必要充分条件を満たしていないがと変なのにしつこく絡まれた。かと言って反例も出さないし、証明もしない。結局他に答えがあるのだろうか?私には無いと思うのだが。
数学読み物やWEBなどでも見かける話ですが、いざ自分で示せと言われると自分には無理。
中学生でも分かる理屈ですが、それを自力で積み上げるにはしっかり練習しないとダメですね。
整数問題でも頻出の考え方ですので、整数問題の練習にはうってつけの題材だと思います。
自分も数学を学ぶ者の「たしなみ」として、自力で示せるようにしたいと改めて思った次第です。
本日は勉強になりました。ありがとうございました。
（原始）ピタゴラス数の話題とは離れますが、
a^3+b^3+c^3=d^3、a,b,c,d:自然数
という形の方程式も面白いです。
私自身は(3,4,5,6)が一つの非自明解になることを知っていますが、それ以外に既約な解があるかどうかはわかりません。
この式、とりあえず
a^3+b^3=d^3-c^3
となり、両辺は各々因数分解できるのですが、その後がなかなか進まないのです。
とりあえずd=c+1の場合の解だけでも求めるのはそんなに容易ではないように思いましたので、ここで問題。
a,b,cは自然数とする。このとき、方程式
a^3+b^3⁼3c^2+3c+1
のすべての解を求めよ。
流れるような説明、頭が良くなった気分になります。
他の説明として、a²+b²=c²を (a+ib)(a-ib)=c² と因数分解したとき、a+ib=±(m+in)² または a+ib=±i(m+in)² ・・・① を認めるなら、右辺を展開して、a=±(m²-n²), b=±2mn または a=±2mn, b=±(m²-n²) というのがあったと思います。ただ①は安易に言っちゃいけないんでしょうね。
今日は解説を拝見しました。勉強になりました。コメント欄もほんとうに勉強になりますし、みなさんすごいですね。今日もありがとうございました。
複素数平面上で考えると簡単に出てくるのを海外のチャンネルで見ました
すご～い！
面白かった。
これ、途中の式をc²=（a+b)²ｰ2abと考えてみると、ある二次関数が整数の値を持つときにどうなるか？という問題と結構類似しているように思えます。
a,b,cが互いに素というのがミソで、ピタゴラス数（三平方の定理）からいろんなところへ発想が広がってゆくプロセスが見えてくると楽しいですね。
m,n が、偶,奇 か 奇,偶 で、かつ互いに素なら「原始」であることが保障されるんですね。理由は
m,nが互いに素でない⇒m^2-n^2,m^2+n^2が互いに素でない,が成り立つだけでなく,逆も成り立つ
からです。m^2+n^2,m^2-n^2が共通因子kを持つのなら, 和 2m^2 と差 2n^2 も共通因子kを持つ。
kは奇数だから m^2,n^2 も共通因子kを持ち、m,n も共通因子kを持つ。
kが奇数と言える理由は、m,n が 偶,奇 か 奇,偶 だから m^2-n^2 も m^2+n^2 も奇数だからです。
「3つのうち2つがg(≠1)の倍数なら、もう1つもgの倍数」
考えてみれば至極当たり前ですけど、こういう話では割と重要なことですよね。
これは以前自分で考えたことがありましたが、奇数の平方数をbとし、a=(b-1)/2, c=(b+1)/2 とすれば無限にはなりますね。模範解答の特殊例ですが。
これは、連続する奇数の和が平方数になることからの逆算です。（それを漸化式で捉えて、差が平方数になる場合を出したもの）
a²+b²=c²
d²+e²=f²
(cf)²=(a²+b²)(d²+e²)
=a²d²+a²e²+b²d²+b²e²
=(ad-be)²+(ae+bd)²
=(ae-bd)²+(ad+be)²
を思い出しました。
貫太郎数学大学の学生気分にひたれました。Pythagorean theoremは、相対性理論の基本です。また明日も、よろしくお願いいたします。
ご存知かもしれませんが、何故その3変数になるかをこちらの動画で導かれてます。
https://youtu.be/QJYmyhnaaek
単位円と（-1,0）を通る直線との交点。
行列でやる方法もある
おはようございます！！！
お疲れ様です．難問が無限に作られる原理が示されたようで，興味深かったです(笑)．
原始ピタゴラス数であれば、こんなのもありますね。
・斜辺以外の2辺のどちらかは必ず3の倍数
・斜辺以外の2辺のどちらかは必ず4の倍数
・3辺のどれかは必ず5の倍数
……これ、今日の1時頃に 他の動画に付けたコメントですけど、まさか同じ日に同じコメントを書く機会があるとは(びっくり)
おはようございます。疑問に思った事を、自分で数学的に考える醍醐味を味わわせて頂きました。貫太郎先生ありがとうございました。
余談です。小生は45年振りにアマチュア無線の再開局準備をしています。さまざまな問題点を、解決しなければなりません。数学の知識も少し必要です。
一読ありがとうございました。
1つ目の方法は何となく気づいてましたが、2つ目の方法は知りませんでした。勉強になりました🙏
おはようございます。
互いに素な３つの数の組 (5184*, 5537, 7585) と (2783, 7056*, 7585) をそれぞれ３辺とする直角三角形は斜辺の長さが同じで、他の１辺が平方数（肩に * をつけたもの）となっています。
これは私が中１の頃（45年位前）に見つけたのですが、これ以外には "ヨウ" 見つけていません。
３辺が互いに素でないものを含んでよいのなら、(16*, 63, 65) と (25*, 60, 65) も同じ条件をみたすのですけれどねぇ。
前者の例から考えて、7^4+4×6^4=2401+5184=7585, 9^4+4×4^4=6561+1024=7585 のように、
a^4+4×b^4=c^4+4×d^4 をみたす (a, b) と (c, d) (a≠c, b≠d)を見つければいいのだということまでは、突き止めたのですけれど…。
（私の頭の中の "余白" がもう少し大きければ、見つけられるのかな (^^? ）
うぃ
ヨシッ❗
おはようございます。
ピタゴラス数の一般解って、座標平面を使っても求められるんですよね。
以下、記憶を頼りに…。
xy平面で、点(-1, 0) を通り傾きが k の直線と単位円が、第１象限でも交わっているとき
y=k(x+1)
x^2+y^2=1
から点(-1, 0) 以外の交点（点A とする）の座標は
((1-k^2)/(1+k^2), 2k/(1+k^2))
になる。（連立方程式を解くだけです。）
点A の x座標と y座標がともに有理数となるとき、k も有理数であるから、
k=m/n（m と n は互いに素な自然数）
とおけ、その座標は m と n を使って
((n^2-m^2)/(n^2+m^2), 2mn/(n^2+m^2))
と書きかえられる。
これが単位円 x^2+y^2=1 上に位置するから
((n^2-m^2)/(n^2+m^2))^2+(2mn/(n^2+m^2))^2=1
両辺に n^2+m^2 をかけて
(n^2-m^2)^2+(2mn)^2=(n^2+m^2)^2
これより a^2+b^2=c^2 を満たす自然数は
a=n^2-m^2
b=2mn
c=n^2+m^2
たしかこんな感じ…。
k=m/n と置いたために動画と m, n が入れかわっていますけど、このまま投稿します。
あくまで空想ですが、ここまで数の美しさ(有理数)を求めたピタゴラス教団が1(美しい数):1(美しい数):√2(美しくない数無理数ああああー！)という事実(真理)を隠匿するために殺人が起きるなんて狂気の沙汰だなと。
おはようございます。私の父親の実家へ行く道路は、下るとき車のフロントガラスから路面が見えないくらい急坂です。今度、角度を計ってみようかと思いますが、そこへの行き来が非常に怖い思いをします。明日もよろしくお願いします。
ありがとうございます！