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数学オリンピックの問題は難解ですが、大学入試に必要なアイデアが詰まった良問がたくさん！ 今回は整数問題と応用数学の問題を解くために必要な考え方が学べる問題を扱います！ ■STARDY徹底基礎講座の詳細はこちら ■最強学習アプリ「リング」のDLはこちら ↓ iOS版 Android版 ■STARDY公式グッズの購入はこちら ■LINE公式「頭脳戦革命」はこちら東京大学医学部在学中、司法試験一発合格。 ずーっと頭脳王です。 初の著書『簡単な勉強法』（）は世界中のタイ語や繁体字に翻訳され、シリーズ累計部数は12万部を突破。 2020年3月14日描き下ろしイラスト版公開予定 ■SNS 河野ゲント：ルーク（編集者等）：Stardy 公式：BGM：Kappa Entertainment / 若林貴嗣 コラボや企画に関するお問い合わせは、公式TwitterのDMまでお願いします。
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答え (x,n). (9,12)
解けた👍🏻
来月に数オリ控えてる身としてはこの問題は取らないとね
千葉大の整数に似てるなあ
答え (9. 12)
これが数学オリンピックの問題か…
一見シンプルなのにいろいろな要素が詰めてあっておもしろい✨
3367と正の整数という事からn＞11っていうのと、x≡1 （mod2）って言うことは導けたけど
mod7考えて手が止まった。数オリの問題は難しいな
mod7に気づくまで日またいだわｗ
暗算で9と12は出たけどそれ以外の答えがあるのかわからんかった
9,12しかわからなかった…
答えが合ってて嬉しかったけど、自分の場合はこれほどの解法は思いつかない…
(２の１２乗は、２の１３乗は…という感じで３３６７をひたすら引いてました…)
自力で解けたああああああああぁぁぁ！
421ループ…？
数学オリンピックにしては簡単な方だね
11:10
37と91の組は？
いつでも良いから、マスターデーモン挑戦ライブとかやってほしい。
もう河野さんなら既に知ってる問題かな？
自己レスです。
2^n:(2→4→1)→(2→4→1)の板書で示されてましたね。すみません。3の倍数+1の時の余りは2、3の倍数+2の時の余りは4。一方でxの3乗の時の余りは0,1,6。なので、因数分解できたらいいなぁと思って3の倍数にした仮定が期せずして当たってたと。
すごいですね。ふと疑問なんですが、nが3の倍数じゃない可能性についてはどうなんでしょうか？例えばn=3m+1もしくは3m+2
少なくとも3367より大きい2の12乗の4096から試しにやったら答え出ちゃったけどこれ以外に解が無いことを示せてなくてダメだった笑
感動
解説素晴らしいです。なぜその解法を思いつくのかを説明いただくことが、受験生のためになると思います。
すっごい難しいけど解けました
3367=2^12-9^3
に気づけば、
x^3-9^3=2^n^-2^12
になって、両辺見比べれば
x=9, n=12は簡単に出ます。
これが唯一の答えであることを別途示さないといけませんが。
これは！
進研ゼミでやったところだ！
アホ高校通ってても分かりやすい解説でホント脱帽するわ
11:16 (37, 91)のペアは？
mod4.8.16の3つを使えばもっと早く解けるのに、回りくどい考え方してるな‥
2^m-x=37,13,7,1出して、
2^n>3367からm≧4だから
MOD4でx=1にしかならないことを使って2^m-x=7に絞った
5分くらいで解けた〜誰か褒めて
2の倍数で3367より大きい4096,8192と順にやっていこうとやっていたら結構早めにできた
3367＝7×13×37
やったー解けた。
まぁ2の累乗知ってただけだけど
これ3367以上の2の階乗の最小の数字は4,496で、この時のxは9
って分かるんだけど、
ここから差を使ってこれ以外に解は存在しないことを示せそうなんだけど、できないかなー？
MOD 7を考えるときに、nが3の倍数であることを示したい、つまり、2^nの、その法において取る値の周期が3の倍数となるような法を考えたい。これはフェルマーの小定理より2と互いに素で3k+1（k≧0）と表される数である。という議論から7を法にしようという発想に至りました。
うーん…文字が二つある時点でギブ…
3367を2の12乗引く729にして解いても綺麗に解けましたよ、729が9の3乗なので3乗引く3乗の式を使いました
不精な俺はまず4096を召喚してみた
なるほど、よく分からん
整数問題やりすぎて定型問題に見えてきた
6:47
n＝4の時も当てはまるってところおかしくないですか！！
m=4ならわかりますが、、（mは整数）
nが3の倍数ではない時、2^nは7で割ると2と4が余りであり、たまたまx^3のmod7は1と6で被ってなかったので、動画のでは全通り調べられたようになっている気がします。
→nが3の倍数の時2^nを7で割ると1余るからnは3の倍数という仮定は正しく、これしか方程式が成立しない。
問題の意図より裏にある条件に気が行くので、n=12以上である事は明らかであるから近い値になるxを想像するのが一番最初に思いついてしまいますね
全然違う解法でやったけど計算量がエグすぎた。解法載せます
x^3+3367=2^n(自然数x,n)
xは奇数ゆえ、x=2k+1(kは0以上の整数)で表せる。
(2k+1)^3+3367
=8k^3+12k^2+6k+1+3367
=2(4k^3+6k^2+3k+1684)
4k^3+6k^2+3k+1684は偶数のためkは偶数
k=2tとすると(tは0以上の整数)
4k^3+6k^2+3k+1684
=32t^3+24t^2+6t+1684
=2(16t^3+12t^2+3t+842)
16t^3+12t^2+3t+842は偶数のためtは偶数
t=2sとすると(sは0以上の整数)
16t^3+12t^2+3t+842
=128s^3+48s^2+6s+842
=2(64s^3+24s^2+3s+421)
64s^3+48s^2+3s+421は偶数のためsは奇数。x=2k+1=8s+1と表せるため、xは8で割ると1余る数。
64s^3+24s^2+3s+421
=8(8s^3+3s^2+52)+3s+5
sが奇数ゆえ8s^3+3s^2+52は奇数。したがって8(8s^3+3s^2+52)は8の倍数ではあるが、16の倍数ではない。
64s^3+24s^2+3s+421=2^nのため、3s+5は8の倍数。もし3s+5が16の倍数ならば、8で割った余りが奇数+偶数で奇数となってしまうため不適。
したがって3s+5は8の倍数であって16の倍数ではない。
3s+5=8(2p+1)とすると(pは0以上の整数)
3(s-1)=16p
よってsは16の倍数+1
s=16q+1とする(qは0以上の整数)
64s^3+24s^2+3s+421=Aとすると
q=0のときA=512
q=1のときA=314432+6936+51+421=321840
q=2のときA=2299968+26136+99+421=2326624
q=0の場合のみ可能と推測できるので、q≧1の場合にA≠2^nとなることを数学的帰納法で証明する。
q=1の場合は上記より不適。
q=y(≧1)においてA≠2^nとなると仮定する。
64(16y+1)^3+24(16y+1)^2+3(16y+1)+421
=262144y^3+49152y^2+3072y+64+6144y^2+768y+24+48y+3+421
=262144y^3+55296y^2+3888y+514
=4096A-43008y^2-8400y-1723902
43008y^2+8400y+1723902について考える
43008y^2+8400y+1723902
=2(21504y^2+4200y+861951)
21504y^2+4200y+861951は奇数のため2で割りきれない。よってq=y+1も不適。
したがってq≧1の全てのqにおいてA≠2^n
よって条件を満たすqは0のみとなる。
ゆえs=1
t=2,k=4,x=9
9^3+3367=729+3367=4096=2^12
よってn=12
以上より(x,n)=(9,12)
カッケー
数オリにしては簡単やった
この人にサマーウォーズの暗号の解読挑戦してみて欲しいね
いつも、河野くんの動画流しっぱなしにして内職(課題)やってます！学校の授業でも内職してたのでなんか凄い集中できますwいい意味で
こんな感じの無限にあるだろって思っちゃうな…
説明分かりやすいけど自分が自分だから分からないって感じ
mod37でも良いですね
できれば原始根の存在に少しは触れて欲しいなぁ