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常微分方程式の解法【微分方程式】の常 微分 方程式 解き方の関連する内容を要約します
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常 微分 方程式 解き方に関連するいくつかの情報
timetable 1:02 変数分離形式 2:06 変数分離形式 (例) 3:34 同次形式 4:21 同次形式 (例) 6:32 一階線形微分方程式 11:50 一階線形微分方程式 (例) 16 :03 係数が一定の 2 次線形微分方程式 19:20 係数が一定の 2 次線形微分方程式 (例) 24:12 ベルヌーイ形式 24:58 ベルヌーイ形式 (例) 27:50 オイラーの微分方程式 28:58 オイラーの微分方程式方程式 (例) 35:01 次数の縮約 (i) 35:54 次数の縮約 (i) (例) 38:16 次数の縮約 (ii) 定数係数の 2 次線形微分方程式とオイラーの微分方程式 解の求め方について説明します「未定係数法」による。 「明日のテストで成績を残してほしい！」 例の多くは、過去の試験問題を使用しています。[Recommended books]・大学院入試問題 ・工学部で数学がわかる千葉隼人 [著]
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〜訂正と質問への回答〜
[訂正]
・29:10~ y'=dy/dx=dy/dt・dt/dy と書いていますが、正しくはy'=dy/dx=dy/dt・dt/dx です。
[質問と回答]
・「logの絶対値は必要ないのか」
→必要ないと考えています。詳しくはこちらのページをご参照ください。
Re: 微分方程式 開いてて良かった! 提示版
→https://6321.teacup.com/phaos/bbs/144
yahoo知恵袋の似ている質問
→https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10169564615?__ysp=5b6u5YiG5pa556iL5byPIOe1tuWvvuWApA%3D%3D
・①変数分離形の例題では、一般式の中のg(y)はg(y)=1という風に、たまたま定数だったと捉えればいいのでしょうか？
→そのように考えて頂いても大丈夫ですが、変数分離形というのはその名の通り、変数x, yを分離できる場合(それを一般的に表すとdy/dx=f(x)g(y))ということなので、ときには公式にあまり囚われ過ぎないで、感覚としては、x, yが(右辺と左辺に)分離できていれば積分できる！という感じでしょうか。
・この動画で説明したもの全て常微分方程式ですか？？院試に向けて勉強しているのですが常微分方程式の範囲がいまいちわかっていないので。。
→この動画で説明しているのは全て常微分方程式です.
未知関数とその導関数からなる等式で定義されるのが微分方程式なんですが, その中でも未知関数がただ一つの変数を持つときに常微分方程式といいます.
例えば, @からの変数分離形の微分方程式の例題の場合には,
未知関数yとその導関数dy/dx からなる等式となっていまして, 未知関数yはただ一つの変数xを持ちますので常微分方程式となっています.
微分方程式は常微分方程式, 偏微分方程式のどちらかに属しますので, ざっくり, 方程式の中に偏微分が入っていなければ常微分方程式であると考えて頂いても大丈夫です.
・「41:00辺りからなのですが、どうしてz'=dz/dxなのでしょうか？z'=dz/dyかと思ってしまったのですが… 教えていただきたいです。」
→例えば, 5:00あたりの同次形のところで出てくるdy/dxの計算は積の微分を使って計算を行なっていますが, これはzというのが,
z=y(x)/x ←yはxの関数なのでy(x)と表記しているだけです
なので, つまりzはxの関数z(x)ということでそのように計算をしていますが, これと同様にして, 41:00あたりの部分では,
z=y'(x)/y(x)
と置いていますが, 結局のところzはxの関数なので, その微分z'(x)というのはxで微分することを考えていて(自分の頭の中でそう定義していると言った方が良いかもしれません), 39:50~あたりで
z'(x)={y''y-(y')^2}/y^2
というように分数の微分を使って計算を行なっているのも, z(x)=y'(x)/y(x)をxで微分しているからであって, z(x)=y'(x)/y(x)をyで微分しているわけではありません.
ということで, z'=dz/dxとなっています.
・オイラーの微分方程式の二階微分の項の変形をする際に
y"=(d^2y)/dx^2
= d^2y/dt^2 ・ (dt)^2/dx^2
=d^2y/dt^2 ・ (dt/dx)^2
と変形するのは間違いでしょうか？
→その変形は間違っていまして, というのもy''と(y')^2は等価ではありません(d^2(t)/dx^2→(dt/dx)^2に関する部分について).
例えばy=x^2+4という式があったときに, y'=2x, y''=2となりますが,
y''=2と(y')^2=4x^2となっていて, 一般的にその二つの値は等価ではないです.
・23:38~ の話で特殊解にxやx^2を掛けるとうまくいく場合があるとのことですが, どのように使い分ければ良いでしょうか?
→使い分けについては単純でして, まず, 特殊解は一般解に含まれない形で予想する必要があります(専門的な言葉で厳密に表現すると, 特殊解は一般解と一次独立である必要があります).
なので例えば, 31:51では一般解がy=C_1*exp(2t)+C_2*exp(-4t)となって, その後, 特殊解をy=A*exp(2t)と置いていますが, この特殊解は一般解のC_1*exp(2t)に含まれますから特殊解の形として相応しくないです. よって特殊解としては, y=A*t*exp(2t)を用意して計算します. 動画内では, (4A+4A-8A)*exp(2t)=exp(2t)という計算をしてAが求まらない, というように説明していますが, 実際はそんな確認をする必要はありません.
3:03の計算がよく分かりません
→∫{1/(x^2+2x)}dx=(1/2)*∫[(1/x)-{1/(x+2)}]dx
のように計算している部分については, 部分分数分解と呼ばれるもので, 元の分数の分母の掛け算を無くし, 分数の引き算で表すことで積分が計算できるということになっています.
動画内で端折っている計算を書きますと,
∫{1/(x^2+2x)}dx
=∫[1/{x(x+2)}]dx
=(1/2)*∫[(1/x)-{1/(x+2)}]dx
となります.
部分分数分解についてはこちらのサイトをご参考ください,
@t
(追加質問)つじつま合わせで2分の1をかけるとはどういう事ですか？
→部分分数分解をするときに, 分母を因数分解などして掛け算の形にした後に, 単純にそのまま分解させて引き算をした結果が, 元の分数が表せている場合というのは少ないんです.
例えば,
1/{x(x+1)} ①
というような分数を部分分数分解するのであれば, 単純に
=1/x-{1/(x+1)} ②
とすれば良いです.
実際に②の分数を通分して計算すれば,
(x+1-x)/{x(x+1)}
というような計算になりますので, この分数の分子の計算をしますと,
x+1-x=1
となっていまして, 結局②の分数は元の①の分数と同値であることが確認できます.
しかし, 動画内で扱っているようにただ単純に引き算をするだけでは元の分数と同値とならないものがほとんどでして,
1/{x(x+2)} ③
というものを単純に分解して引き算をしますと,
(1/x)-{1/(x+2)} ④
となりまして, 通分しますと,
(x+2-x)/{x(x+2)}
=2/{x(x+2)}
となりまして, 元の分数の2倍となっています. なので辻褄を合わせて④式を2分の1倍しておけば, 元の分数③と同値となりますので等号(=)で式を結べます.
・2ndの同次形の解をxの関数とみなして星に代入すれば、一般解が出るっていう理由がわからない。
→どのレベルで疑問を持たれているのかいまいち把握できませんが, 一般解が出る理由は簡潔にいうと, それで(2ndの同次形の解をxの関数とみなして星に代入すれば)上手くいくからです.
上手くいくというのは, @ぐらいに一般的な場合で示しているように, 同次形の解の定数をxの関数とみなすことでC(x)p(x)exp(-∫p(x)dx)の部分が必ず打ち消し合われるという部分です.
一般的な話ですと少し分かりにくいと思うので, 具体的にその後の例題の方で話しを進めますと, @のあたりがそうなってますよね. 打ち消しあうことによって, この例題におけるA(x)がA(x)=x^2*logx-1/2x^2+C'と求まるのは大丈夫ですよね. その求まったA(x)をxで割ったA(x)/xは例題の微分方程式x*dy/dx+y=2xlogxを満たします(つまり微分方程式の解となっています). なぜなら, そもそもy=A(x)/xというのを微分方程式に代入しているからです.
他にも細かい話をするとキリがないですが, ざっくりいうと一般解が出る理由はこのような感じです.
・五藤先生の教え子ですか？
→具体例あげましょうか〜？
コメント失礼します。43.34のところに分母の計算結果はＡじゃなくて、2Ａだよね
めちゃめちゃ詳しくまとめられていて非常に助かります😭わかりやすいです😭
一つ質問なのですが、オイラーの微分方程式の最後、yをtの関数で求めて、最後にx=e^tを使ってyをxの関数に書き直す必要はないのでしょうか⁇
すごい、、。
神動画に出会えました、ありがとうございます。
要点がわかりやすかったです
五藤先生の教え子ですか？
①変数分離形の例題では、一般式の中のg(y)はg(y)=1という風に、たまたま定数だったと捉えればいいのでしょうか？
初歩的な質問ですみません💦
タイムテーブルもガッツリと書いてあるのが神すぎた。
説明も分かり易すぎてワロス。
確実に乃木オタや！
29:50から dy'/dtがなぜe^-tdy/dtの微分になるのかわかりません。
2ndの同次形の解をxの関数とみなして星に代入すれば、一般解が出るっていう理由がわからない。
高2です。
去年の夏頃に一度拝見させて頂いたのですが、数検の対策用として再び動画を見させてもらいました。難なく理解でき非常に助かりましたので、主さんには感謝しております。
有難うございました^^
この動画で説明したもの全て常微分方程式ですか？？
院試に向けて勉強しているのですが常微分方程式の範囲がいまいちわかっていないので。。。
積分定数CはXの関数なのですか？たとえば14:00あたりでexp(c)をA(x)と置かれていますよね？
動画版マセマだ
3:03
ん？どういう事やろか(￣- ￣ ) ﾝｰ
本当にわかりやすかったです。助かりました！！！
大学の先生よりものすごくわかりやすいです。
ありがとうございます。
オイラーの微分方程式の最後の一般解は t を x に変換したほうがいいですか？
微分方程式勉強してたときに微分演算子が理解できなかったので微分演算子，逆演算子についての動画が見たいです
些細なことですがlogの中身に絶対値をとるのを忘れています…
そんなことはさておき字が好みです
わかりやすい説明ありがとうございます。
種類がいっぱいあって覚えるまでに時間がかかりそうですね、、
とてもわかりやすくて助かっております、ありがとうございます！
凄く分かりやすくて参考になりました！質問なのですがy''=4y+8のような問題はなぜ単純に2回積分するだけで求めることが出来ないのですか？
院試控えてるので、助かります！
復習できました👍
ありがとうございます！！
ありがとうございます、助かりました
ありがとうございます。いい動画でした。
ありがとうございます！助かりました。半分まで見てついていけなくなってあえて最後まで見た。
パターンをそろえて、計算も丁寧にしてくれたので、繰り返して見て学ぶつもりです。
凄くわかりやすかったです^_^
チャンネル登録しました
これからも頑張って下さい