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楕円の方程式を同値変形で導出［今週の定理・公式No.15］。
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15:20のc+rはx+cより絶対値が大きいというのが分かりません
xとyの方程式
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2|r|(r,c: 実数 )…(＊)
を同値変形する問題は、動画の問題の拡張になっています。これを同値変形していくと、教科書で突然出てくる「r>c>0」という条件の謎が解けるので、疑問に思っている方はやってみると良いです。
(補足)
「|r|となっているが、本当に拡張になっているのか」
と思われるかもしれませんが、なっています。
動画の問題は、
√(…)+√(…)=2r
⇔√(…)+√(…)=2r∧√(…)+√(…)≧0
⇔√(…)+√(…)=2r∧2r≧0
⇔√(…)+√(…)=2|r|∧r≧0
と、(＊)の特別な場合になっています。((＊)はr: 実数 )
xとyが独立じゃないですが、個別に-1と1の間っていう結構ガバガバな評価でも、
(x+|c|)^2+y^2≦4r^2
が証明できるんですね。
さっきやったんですが、楕円の媒介変数表示を使って証明することもできました
最後の評価の4r^2≧(x+c)^2+y^2側ですが、式のみで差し迫るとこうなります
以下、かなり長いので見たい人だけ続きを読むを押してください
まず、
-√(r^2-c^2)≦y≦√(r^2-c^2)
⇔|y|≦√(r^2-c^2)
⇔y^2≦r^2-c^2
です。
最初の同値変形は、古賀さんが出されている同値シリーズの、絶対値の回で出てくるものです。
ちょっと説明すると、
-A≦X≦A⇔|x|≦A
というものです。
二つ目の変形は、辺々≧0なので、二乗しても同値性は崩れません。
(x+c)^2の評価はちょっと面倒です。
-r≦x≦r
⇔-r+c≦x+c≦r+c…(1)
ここで、r>c>0なので、
-r-c<-r+c
です。実際、これを変形すると
c>0
という正しい条件が出てきます。
よって、
(1)
⇔-r-c<-r+c≦x+c≦r+c
⇒-r-c<x+c≦r+c
⇒-r-c≦x+c≦r+c
⇔-(r+c)≦x+c≦r+c
これは、まさにy^2を評価するときと同じ、
-A≦X≦A
の形です。なので、
(1)⇔|x+c|≦r+c
r>c>0
⇒r+c>0
なので、辺々≧0で、二乗してよく、
(1)⇔(x-c)^2≦(r-c)^2
が得られました。
√が2個→移行してから二乗
「PはA,Bからの距離の和が2rである点」が前提条件としてあるので、2r-PBは0以上であることは明らかとして良いのではないでしょうか？
趣旨とは違いますが、同値変形を意識せず式変形をして、逆を確かめる場合、どうしたらいいですか？
長軸短軸が座標軸と直交してない楕円は
極形式でしか表示できなくなるんでしょうか？
同値を保ちながらの式変形ってなんかエモいっすね。
2次試験では同値変形の記号を多用しない方がいいらしいね
2つの距離の和が2rでそのうち一つを2rから引いたものは正になるから
A≧0 B≧0
使えると思うんですけどだめなんですかね
離心率との関連があまりパッと分かった気にならないので、解説していただけませんか…？
動画では ① を得た後 12:45 のように処理していますが，実際には ②，③ を付加する段階（7:30，10:05）でそれらが不要であることが示せますので，余力のある人は考えてみると良いかもしれません．
これを最初に示した人間がいるってのがすごいよなぁ
これはとてもいい動画ですね。着眼点に、非凡さを感じる。(⌒‐⌒)さすが京大数学科のフィールズ賞候補！🎶
俺得すぎる
備忘録👏。【大雑把な 楕円の方程式の導出】a>c>0 として、2定点F(c,0), F(-c,0)からの距離の和
が2aであるP(x,y)の軌跡を求める。PF＋PF'＝ 2a ⇔ √( (x-c)²+y² ) ＋√( (x+c)²+y² ) ＝ 2a ･･･①
『 √ルートを独りぼっちにして ( 両辺 )² 』を 2回する。 b＝√( a²-c² ) とおくと a＞bで
☆ x²/a²＋y²/b²＝1 ･･･② 逆に ②を満たす (x,y)は、①を満たすから 求める軌跡は、②である。■
焦点は、( ±√(a²-b²), 0 ), ( 距離の和 )＝2a
組み合わせの数はなぜnCrで導出出来るのですか？
中学生に教えていて、振り返った時になんでだろうと思いました。よければ今日の公式で取り上げてください。
間違っていたら、申し訳ないのですが
5:12ぐらいの時に、2r-√が正であることの証明は難しいと言ってたのですが、
上から2行目の√+√=2rの形から、
√<2rと言えないでしょうか？
√が負になることはないですし、
rは正と仮定しているので、
3行目の右辺も正と言えると思います
間違いがありましたら、ご指摘
お願いします！！！
7:39秒あたりの同値の話ですが、√{(x-c)^2+y^2}でx,c,yが実数ならば二乗の和の形なので√の中身は０以上であり、＋√の形なので左辺は０以上、よってA=BでA≧0だからB≧0は自明で2r-√{(x+c)^2+y^2}≧0は自然に成り立っているので、この式を書かなくても同値というのはまずいですか？
これ70年前の東大で出てる？
二次曲線特集みたいなものも見てみたいです
小テストにこれ出されて苦労しました
x,yを複素数の範囲で考えるとどないなるやろか
0:36 半径が2rで一定であーるような…って、意識して言ってるように聞こえる
教科書であまりはっきり書かれないところですね、めちゃ参考になりました
自分で証明出来たときの達成感がすごい同値変形
「軌跡のいい練習問題」…
やばい、解けない。
斜めの楕円はどうあらわすんですか？
目の付け所が絶妙(・ー・ )
高校の教科書では，こういう時，「逆も成り立つ」の一言で誤魔化してしまうので，このようにきちんとやって いただいてありがとうございます😊
お疲れ様です。古賀さんの動画将来、授業とかで使われそう…。自分だったら使いたくなる。。(その時はお金払うけどw)
r(r-c)=0はよくないと思うんですが、考えなくていいんですか？
自分が高校生のときこれを疑問に思って、今でこそ最後の方で解説されているような事が丁寧に書かれている参考書や、それこそこのような有り難い動画もあるのですが、当時自力でこれをきちんと詰めて考えたことを思い出しました。懐かしさを覚えたと同時に、こんな動画が当時欲しかったと思いますね。