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証明においてベクトルが最強すぎる
めちゃくちゃわかりやすいです
この内容（1点で交わるとか比が1:2とか）って中学では暗記になるんだっけ？
勢いが落ちてきてしまった…？悲しい
今週の定理・公式の再生リストに関係ない他チャンネルの動画が入ってますよ
備忘録👏。【 三つの中線が 1点で交わることの証明 】
1. チェバの定理が最速 2. (通常)ベクトルもOK
〖 中線を頂点から 2 : 1 に内分する点 〗〖 g*＝ ( a*+b*+c* )／3 〗■
発想の逆転！
平面図形も空間図形もベクトルしか思いつかないクセ治したいです。
＜ベクトルによる別証明＞：（3点A,B,Cの対等性を利用）
△ABCと同一平面上の任意の定点をOと置く。
BCの中点をL, CAの中点をM, ABの中点をN, ANの中点をPと置く。
BMとCNの交点をG_1, CNとALの交点をG_2, ALとBMの交点をG_3と置く。
中点連結定理によりMP//CN。
∴BG_1:MG_1 = BN:PN = BN:(AN/2) = 2:1
∴vecAG_1 = (1/3)vecAB + (2/3)vecAM
= (1/3)vecAB + (2/3)(1/2)vecAC
= (1/3)vecAB + (1/3)vecAC …①。
一方
で
vecOA = (1/3)vecOA + (1/3)vecOA + (1/3)vecOA …②。
①,②を辺々加えると
vecOA+vecAG_1 = (1/3)vecOA + (1/3)(vecOA+vecAB) + (1/3)(vecOA+vecAC)
∴ vecOG_1 = (1/3)vecOA + (1/3)vecOB + (1/3)vecOC。
前式においてA,B,CをそれぞれB,C,Aで置き換えることにより
vecOG_2 = (1/3)vecOB + (1/3)vecOC + (1/3)vecOA。
再び前式においてA,B,CをそれぞれB,C,Aで置き換えることにより
vecOG_3 = (1/3)vecOC + (1/3)vecOA + (1/3)vecOB。
従って3点G_1, G_2, G_3は一致し、3中線BM,CN,ALが1点で交わることが意味される。■
ワイはメネラウスを使う( ˘ω˘)
メネラウスの定理より|ＡＧ|：|ＧＰ|＝２：１
CG＝1/3*CA+2/3*CP=1/3*CA+1/3*CB
CR'=kCG=k/3(CA+CB)
R'は辺AB上にあるからk/3+k/3=1 k=3/2 よって CR'=(CA+CB)/2
R'は辺ＡＢの中点 ゆえにＲとＲ’は一致する
今までのこのシリーズとは趣が少し変わって、非王道、というか伝統に依らない面白い証明を用意なされたんですね。学校では時間の制約(か何か)でなされないように、色々なアプローチでかつ学んできたことの復習にもなるような楽しい内容でした👍🏻
一見不思議だけど 示されると納得(・ー・ )