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一橋にベクトルと絡めてこんな問題でたきがする
ヨシッ❗
途中のx＝rcosθ，y＝rsinθの下りは、完全に極形式の説明だと思うのだが、何故か「極形式」っていうワードに一切触れてないのが気になったなぁ。
数Ⅲなるものが、どこからどこまで含むのかはよく知らんのだけど、文系向けに相加・相乗平均の不等式を使った別解を書いておこう。
＜別解＞
x＞0，y＞0なので、y＝pxを満たす正の実数pが必ず存在するので、これを与式に代入すると、x≠0なので、与式は、以下のように書ける。
7－（4p＋5）／（p^2＋1）
f（p）＝（4p＋5）／（p^2＋1）と置くと、その逆数は、
1／f（p）＝（p^2＋1）／（4p＋5）＝（4p＋5）／16＋（41／16）／（4p＋5）－5／8
と変形出来る。
p＞0なので、ここで相加・相乗平均の不等式が使えて、
1／f（p）≧2√（（（4p＋5）／16）・（（41／16）／（4p＋5）））－5／8＝（√41－5）／8
等号成立条件は、（4p＋5）^2＝41⇔p＝（－5±√41）／4。
p＞0より、p＝（√41－5）／4。
正の実数pがちゃんと存在するので、等号は含んで良い。
よって、f（p）≦8／（√41－5）＝（√41＋5）／2
p＞0より、f（p）＞0。
y＝f（p）は、p＞0で連続かつ、p→∞の時、f（p）→0なので、f（p）は、区間（0，（√41＋5）／2］内の任意の値を取り得る。
よって、0＜f（p）≦（√41＋5）／2
⇒（9－√41）／2≦7－f（p）＜7
こんな感じです。
数Ⅲを使わず、と言っておきながら、f（p）の下からの評価のために、関数の連続性や極限を使うハメになってしまった❗
そこいら辺、なんかいい改善法がありましたら、是非お教え下さい。宜しくお願いします。
まぁ入試問題なんでどう解いてもいいですが、この問題が実質的に（極形式を利用するなどして）1変数関数の最大・最小に帰着できるのは分母と分子のすべての項が2次であるという「同次性」があるからであって、そうでない一般の場合は偏微分の問題になる（あくまで高校範囲に拘るなら1変数を固定する手法を取る）と思われます。
そこは一言触れて欲しかったですね。極形式に変換して変形したらr消えるでしょ、ではなく。
数学のfactbook だYouTube
勉強になりました。どうも、ありがとうございました。
この問題、???…なのだが、分母が円の方程式だということに気は付けば…ということか。
でも、微分でごり押し…という方法はやりたくない…と仰っていたが、果たして微分で解いた人は居るんでしょうか？
やはり最初の方法でやりました。その場合は数Ⅲですね。今日もありがとうございました。
分子=定数とおくと楕円(主軸がx軸からα傾いている)で、分母は楕円上の点から原点までの距離の2乗なので、この距離が大きいほど与式の値は小さくなると考えることもできますね。解釈だけですが。。
動画のように分数式を作って、解法としては、数三の微分と=kとおいて判別式を考える方法の2つが考えられる。
また、動画のように分数式を作れるということは、同次式ということでもあるから、三角関数との親和性が高いことも押さえるべきポイントだと思う。今日もありがとうございます。
途中で面倒になってダサい微分でやっちゃいました。
あと、分母が円で分子が楕円なのを利用して何か方法無いかな？と色々考えたが、結局極座標での計算になってしまった。
斉次式なので分母･分子 を y² でわって 1変数にして微分して調べるという方法しか思いつきませんでした。
分子を分母で割ってやって 2＋〇〇 の形にしたけど、手間はたいして変わりません。
綺麗な値にならないなぁと思いながらシコシコと計算をすすめると、√41で括れたのがちょっと救い。
パラメーター使う方法は思いもしませんでした。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
典型問題で、様々な解き方がありますね。この問題の場合は、動画後半の方法か、前半の (2t²-4t+7)/(t²+1) から、これを =k とおいて、２次方程式が正の解を持つ条件から、k の範囲を求める方法が楽でしょうかね。
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前者の解法で解きました。微分でもルートの入った分数計算にはなるも、解けますね。
この問題は文系の人でも解けるようにした方がいいですか？
おはようございます。t=x/y と変換の上、(2t^2-4t+7)/(t^2+1) = k とおいた上で、tが解を持つ条件として、kの範囲を導入つしました。（二次方程式の解の存在条件に帰着）
三角関数によるパラメータ表記も頭にはよぎりましたが、結果的にはこのやり方の方がシンプルだった気はします。
分数式を微分する過程で2t^2-5t-2が(2t-1)(t-2)と因数分解できると「勘違い」して、極値が出せるように上手くできてるなと思ってしまった。
Nice!
うーん難しい。試験の一番最後の「これ解けりゃすごいけどね」的な問題だったんでしょうか。
極形式も考えましたけど、分数式の形で解きました。
微分するのではなくて、(2t^2-4t+7)/(t^2+1)=kとおいて、分母を払えば、
(k-2)t^2+4t+(k-7)=0という形になるので、これが正の解を持つkの範囲と考えれば、2次方程式の問題になって複雑な計算は不要になります。
ただ、k=2のとき1次方程式になるなど、場合分けが若干面倒になります。
連分数展開が楽です。
分母分子がともに2次のみである同次式なので、y/x=t とやるやり方もありますが、x>0 , y>0 という条件があるので極座標変換 x=r cosθ , y=r sinθ によって r>0 , 0<θ<π/2 に1対1で対応でき、あとは三角関数の増減の問題になるのでこっちの方が楽という感じですかね。x^2+y^2 があると極座標変換したくなりますね。
ほんの先ほど見つけた裏技。
知らなかったのは私だけでしょうか？
便利そうなのでコメントに残しておきます。
分数関数 y=f(x)/g(x) が x=α で極値をとるとき、
f(α)/g(α)=f'(α)/g'(α) ..(1)
証明は商の微分の公式から
x=α で y'=0 であれば
{f'(α)g(α)-f(α)g'(α)}/{g(α)^2}=0
これより (1) が導かれる。
良問です
普通に全微分したら駄目なのか？ああ高校の範囲内で解かなきゃ駄目だから変数を纏めるという話か。
久々の医学部数学以外ですね。
動画と同じ方法で解きました。
他にもx/y=tとおき、与式=kが正の実数解をもつ条件を求める方法でも解けそうですね。
オハヨー😴
解けました〜☺️
１変数化して逆像法で良くないですか？と、思ったけど、t>0 の制限があるので面倒くさい。一応 与式=k と置いて t の範囲無視でこれが解をもつときの k の条件出してみて、確かに k=(9-√41)/2 という値は出て逆像のさらに逆でこの値のときに t>0 で解を持つようなんだけど、こんなの答案になりませんので、結局計算力にまかせてゴリゴリやりました〜。
おはようございます。
このコメント欄で過去に幾度か言及した『新・受験数学勉強法』（根岸世雄著）では、「文字を置き換えるとき、元の文字の範囲を新しい文字の範囲に反映させることを忘れてはならない」ことが強調されていて、根岸先生は、もとの文字から置き換えた後の文字への"遺言"なんておっしゃっています。
この本（ブルーバックスB488）は、数学の試験問題を解くときの考え方を詰将棋を例に解説したものなので、（手に入りさえすれば）貫太郎さんはきっと持っていらっしゃるでしょう…。
（とはいえ、ISBNコードも付されていないような、昭和57年初刷のものですが…www）