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私はf(x)=x-x^3/3+x^5/5-‥時の 16 f(1/5) – 4 f(1/239) で出すのが好き。
その式で出る理由を,微積分の知識のない人にもわかる説明ができるから。
円の接線長から円弧長を求める関数をfとするとf(x)-x+x^3/3-x^5/5+‥は,
各点の傾きが0で,x=0の時の値が0だから,全てのxでf(x)-x+x^3/3-x^5/5+‥=0。
正確には、少なくとも 0≦x<1 の範囲ではf(x)-x+x^3/3-x^5/5+‥=0。
接線長、円弧長が正確にはどこの長さを指してるか説明すると、
半径1の円に接線を引いて接線上の点を決めた時、
円弧長は,中心とその点を結ぶ線と,中心と接点を結ぶ線に挟まれた円弧の長さを,
接線長は,接点からその点(決めた点)までの長さを、ここでは指しています。
fを、この接線長,円弧長を使って表すと、f(接線長)=円弧長 。
fの逆関数を g と表すと、つまり g(円弧長)=接線長 とすると、
g(A-B)=(g(A)-g(B))/(1+g(A)g(B))であることが幾何学的に証明され、
g((A+B)-B)=(g(A+B)-g(B))/(1+g(A+B)g(B)) を変形することで
g(A+B)=(g(A)+g(B))/(1-g(A)g(B))であることも証明さます。
f(x)の傾きはどうやって求めるか？
点(g(f(x)),f(x))と点(g(f(x)+h),f(x)+h)を結ぶ直線の傾き
((f(x)+h)-f(x))/(g(f(x)+h)-g(f(x))) = h/(g(f(x)+h)-x)
= h/((x+g(h))/(1-x g(h)) -x) = h(1-x g(h))/((x+g(h))-x(1-x g(h)))
= h(1-x g(h))/(g(h)(1+x^2)) = (h/g(h)-hx)/(1+x^2)
は、h を 0 に近づけるほど、理論上、f(x)の傾きに近づいて行きます。
実際の値は 1/(1+x^2) に近づいて行きます(h/g(h)が1に近づくから)が、
1/(1+x^2)に近づいて行く理由は,f(x)の傾きが1/(1+x^2)だからだと考えてよい。
つまり、f(x)の傾きは 1/(1+x^2) なわけです。
x^n の傾きはどうやって求めるか？
点(x,x^n)と点(x+h,(x+h)^n)を結ぶ直線の傾き
((x+h)^n-x^n)/((x+h)-x) = ((x+h)^n-x^n)/h =
((x+h)-x)((x+h)^(n-1) x^0 + (x+h)^(n-2) x^1 + ‥ + (x+h)^0 x-(n-1))/h
= (x+h)^(n-1) x^0 + (x+h)^(n-2) x^1 + ‥ + (x+h)^0 x-(n-1)
は、h を 0 に近づけるほど、理論上、x^n の傾きに近づいて行きます。
実際の値は n x^(n-1)に近づいて行きます(項の個数がn個で,全項x^(n-1))が
n x^(n-1)に近づいて行く理由は,x^nの傾きが n x^(n-1)だからだと考えてよい。
つまり、x^n の傾きは n x^(n-1) なわけです。
そういうわけで f(x)-x+x^3/3-x^5/5+‥ の傾きは 1/(1+x^2)-1+x^2-x^4+‥ですが
1/(1+x^2)-1+x^2-x^4+‥-x^(4k) = – x^(4k+2)/(1+x^2)、
1/(1+x^2)-1+x^2-x^4+‥+x^(4k+2) = x^(4k+4)/(1+x^2)であり
0≦x<1の時、k増加でどちらも0に近づくから、1/(1+x^2)-1+x^2-x^4+‥=0 。
一方、g(4f(1/5)-f(1/239)) を
g(A+B)=(g(A)+g(B))/(1-g(A)g(B)) と g(A-B)=(g(A)-g(B))/(1+g(A)g(B))
を使って計算して行くと 1 になります。
g(θ)=1 になるのは θ=π/4 のときだから、4f(1/5)-f(1/239)=π/4。
つまり、π=16f(1/5)-4f(1/239) なわけです。
なお、h を 0 に近づけたとき、h/g(h)が1に近づくと言える理由は、
中心～決めた点(接線上)を結ぶ線と円弧の交点から、
中心～接点を結ぶ線に垂線を下ろしてその線との交点をPとした時の
中心～P の長さをc(h)、P～円弧との交点 の長さをs(h)とすると、
s(h)≦h≦g(h)という関係が成り立ち、比率から見てs(h)=g(h)c(h)だから
g(h)c(h)≦h≦g(h)、つまり c(h)≦h/g(h)≦1 という関係が成り立ちます。
h を 0 に近づけると、c(h)は1に近づくから、
h/g(h) は、1に近づく物と1の間に挟まれてるから、1に近づくと考えてよい。
h≦g(h)と言える理由の説明は厄介。微積分の予備知識なしの人には、
「円に外接する正n角形の外周長は円周長以上だから、
外周長の1/nである1辺の長さ(接線長)は,円周長の1/nである円弧長以上」
くらいの説明しかできません。この説明は、
本当にそうか？と言われればそうだと言い切れない、感覚的なものでしかない。
厳密に説明するには、
決めた点(接線上)まで、接点から点を動かして、
中心とその点(接線上)を結ぶ線と円弧の交点が描く軌跡の長さを積分して求め
その値が接線長以下になることを証明しないといけない。
値そのものは不要ですが、接線長以下になることは、示さないといけない。
厳密さを貫くと、h/g(h)→1 という一番簡単そうところで積分が必要になる。
まあ「円に外接する多角形の方が…」くらいの説明を認めれば、
微積分の予備知識を全く前提にしない説明ができるから、それで勘弁してください。
ビュフォンの針の確率2l/πdはいきなり出てくるけども、これは、針と線の傾きをΘ(π≧Θ≧0)と定義したとき、Θ~Θ+dΘ（微小区間）の傾きになる確率は、dΘ/π。
その時の針の縦方向の長さの成分は、lsinΘ
これが、d間隔の横線と交わる確率はlsinΘ/d
つまり、それらを積分で足せばよいので、交わる確率は
（integralです）∫0→πの(lsinΘ)dΘ/dπの積分計算です。
[-lcosΘ/dπ]の0→π となり2l/πd
（dが微積のdと間隔のdで同じ文字になってしまってすいません。dΘのみ積分のdです。）
毎度の事だけど、最後のオチは…
大好きです❤
冒頭のアルキメデスの証明っていつだかの東大数学で使わなかった？
超正確に円を書いて、超正確に長さを測定しよう
そういえばだけど円周率を求めるモンテカルロ法と賭事での資金管理に用いられるモンテカルロ法、両方とも知ってたけど関係あるのかね？
昔、c言語とコボルで数万桁のΠを求めるプログラムを書いたことがあるのですが、ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムだと思うのです。ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムの解説も良かったらお願いします。
8:37
ジョルジュ・アルベルト・エドアルド・ブルトゥ・ジル・ド・ラ・トゥレット「そいつ、ずいぶん短い名前だな」
ax^2+by^2=cは円の式ではないのですがそれは
パソコンがＤＯＳ／Ｖ機と言われていた頃『SuperPi』というフリーソフトでいかに早く桁の多い円周率を求めるか、ベンチマークに使っていた記憶が。ＣＰＵを水冷化したり、クロックアップしたり。当時としてはかなりの無茶をさせた方が多くいましたね。
うぽつです＿|＼○＿！！
前回からゆっくりの音量揃ってない？
数学の天才たち…いったい常に何を考えているのだろか…
ビュフォンの針をコンピュータでシミュレーションするときは線との当たり判定で円周率の値が必要なので注意しましょう
問題はどうやってランダムにするかだな。
霊夢の声が大きいのは最初に言った通りやけに元気がいいから…？
2番目の π を求める方法を 3b1b のビデオで見た時は衝撃でした。
π を求める方法で私が個人的に面白いなと思った他の方法は Mandelbrot set を使う方法(関数適用の繰り返しを differential equation として tan を近似する方法)です。(例: https://youtu.be/d0vY0CKYhPY , https://youtu.be/3tz_2syhWAE) もしこれをド文系でも楽しめるように解説していただけたら素晴らしいです。でもあまりに細部に入りすぎていてこのチャンネルの趣旨とは離れますかね。。。
針の求め方もモンテカルロ法の一種ですね。
こーじさんの物理エンジンの動画で全部やってました。
パイなので3月14日に配信してましたね。
初めて見た時は感動しました。
筒状のものを倒して1周させた分の長さを紙に書いて、その長さを直径で頑張って割って、3.14まで出したのを思い出した
衝突回数のは3Blue1BrownJapanのが分かりやすい
円周率は数式で表現するしか無さそう。桁数が無限であることが宿命だから・・・
ノーコンの自分がダーツをやれば、100回目で3.14位までは求められそうだ
アルキメデス先輩の方法正24角形でだしても3.1ぐらいまでは出るからおすすめ正24角形なら中学生でも解けますしね
前にも書いたけど、ラマヌジャンの途轍もなく収束の速いπ級数公式を知っていれば、
初項計算 (3528/1123) だけでもπを有効数字5桁まで一気に求められますね。
しかし何故そうなるのかは、ナーマギリ女神に教えてもらうしかない…
なんか霊夢の音大きく感じるの俺だけ？
1コメ……？