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35 thoughts on “【数学良問の旅】横浜国立大|三角関数×実数解の個数(難易度B) | 横 国 数学のベストに関するコンテンツをカバーします

  1. 焼き鳥大使 says:

    これいい難易度だよなあ。
    基礎と言えばそうだけど、難しすぎず
    簡単すぎず。こういうのをしっかりと
    解けるようになっておくのが大切

  2. 高嶋伸介 says:

    この解法はちょっとあまりいただけないと思います
    解の個数を求める問題でそれが三次関数の解の配置問題となります(分数関数のままでもできますがそこは趣味の範囲かもしれません)
    その手の問題ではexplicitに“解を求める”のは得にならない事が多い、あるいはそもそも受験数学の範囲ではexplicitな解の表示ができない事の方が出題頻度は多いと思います
    この手の問題の“定石論法”はt=sinθをθの方程式とみなした場合の解の個数の変化する範囲、この例ならt=0,t=1/√2,t=1で分割される領域のそれぞれに何個ずつの解を持っているかであって“解自体を求める”ことではないし一般にはそれができてもかえってめんどくさい事の方が多いと思います
    もちろん求めてもいいんですけど
    でも“正解ならなんでもいい”ではあまり褒められないかも

  3. taroo hana says:

    y₁=1/sinx と y₂=1/sin3x のグラフは微分を使わないで逆数のグラフとしてかけますから y=y₁+y₂のグラフも概形がかけるのであとは減点されないように説明すればいいだけの問題です。

  4. アーチ says:

    いろんな問題を解いて自分の頭にいろんな引き出しを作っておけば、別解も思いつくし、試験本番もいろんな解法で実験できていいですね!
    これからも良問をよろしくお願いします!
    今のところ全部見てます!
    (文系なので数3以外ですけど)

  5. 良い傘 says:

    三次関数にのグラフ描いて、t=√2/2、1をそれ自体の関数とそれを微分したやつに放り込んで位置決定して、単位円でtの範囲に対応する解xの個数を書いて[0、√2/2)では1つ、[√2/2、1)では2つ、t=√2/2では1つで、グラフからその範囲にある解の個数と対応させて3つって出したんだけどこれでもいいの?

  6. smb2019 spoon-me-baby says:

    地図式配列だと、神奈川県の次は新潟県から北陸→甲信→東海(但し岐阜、静岡、愛知の順)の順に中部地方を回ることになってます。
    まぁそんなことすばるさんは知ってるだろうけど。

  7. 田村博志 says:

    解法とは関係ないけど問題の値を図で見ることができます。
    pq 平面上の単位円上の点を A( cos x, sin x ), A から p 軸に降ろした垂線の足を B とします。
    線分OA を延長して直線 q = 1 との交点を C, C から p 軸に降ろした垂線の足を D とします。
    △OAB と △OCD は相似なので
    線分OA : 線分AB = 線分OC : 線分CD
    線分OA = 1, 線分AB = sin x, 線分CD = 1 を代入すると
    1 : sin x = 線分OC : 1
    これより 線分OC = 1/sin x
    sin 3x も同様に考えられますが、 sin 3x = sin ( π – 3x ) なので
    sin x と逆回転で考えてもいいですね。

  8. ぷっちょ says:

    なぜsinx≠0が常に成り立つんですか?
    θ=π/2の時はどうなるのでしょうか?
    どなたか教えていただけるとありがたいです。

  9. 合八一合のYouTube高校数学 says:

    備忘録70G" 【 角の統一が第1歩 → sinx= t とおくと、】 0 ≦ t ≦ 1 で,
    ( 与式 ) ⇔ 12t³-4t²-9t+4 = 0 ⇔ ( 2t-1 )( 6t²+t-4 ) = 0 ・・・①
    0 ≦ x ≦ 3π/4 に注意して、 『 ☆ 解の個数の 対応関係がテーマ 』
    ( ⅰ ) 0 ≦ t < 1/√2, t= 1 である t 1個に対して x は 1 個 ・・・②
    ( ⅱ ) 1/√2 ≦ t < 1 である t 1個に対して x は 2 個 ・・・③ 対応する。
    ①より、 t= 1/2, ( -1+√97 )/12 である。
    これより、②が 1 個, ③が 1 個 だから、求める x の個数は 3個である。■

  10. ああ says:

    tの三次方程式うまく因数分解できなかったけど、グラフの概形考えてf(t)とf'(t)にt=0,1/√2,1を代入して3つの解tのそれぞれの範囲決定するだけで求まった

  11. 池田裕貴 says:

    <自分用>
    分数がイヤ→両辺sinx,sin3xかける事はできた。sinx≠0よりx≠0は出来たが、sin3xの方を、0≦x≦3π/4→0≦3x≦9π/4から、3x≠0,π,2πよりx≠0,π/3,2π/3とするの忘れた。

    分数払って3倍角使って整理する(計算ミスした)と
    12(sinx)^4-4(sinx)^3-9(sinx)^2+4sinx=0
    となる。

    sinx=tと置くと、
    12t^4-4t^3-9t^2+4t=0

    0≦t≦1で対応関係は
    t≠0(x≠0より)t≠√3/2(x≠π/3、2π/3より)
    0<t<√2/2、t=1でxは1個
    √2/2<t<1でxは2個。

    よってt≠0より
    12t^3-4t^2-9t+4=0
    因数定理より
    (2t-1)(6t^2+t-4)=0
    t=1/2 or t=(-1+√97)/12 (∵t>0)
    1つ目の解は前述よりxは1個。2つ目の解は明らかに√3/2ではないので、この解が√2/2より大きいか小さいかで、xの解が1個or2個と決まる。
    (コメント欄より)この2つ目の解と、√2/2の不等式を作って、それを二乗して比べると楽。
    (動画より)t=√2/2を6t^2+t-4に代入、それの正負で判断

    以上より、xの解は3個◼️

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