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円錐 体積に関連するいくつかの説明
小中学校では、おもりの体積が同じ底辺と高さの柱の 3 分の 1 であることを利用していますが、その理由は説明されていません。 オイラーで解いた「自然数の二乗の逆数の和」。 円とは関係ないのに結論にπが出てくる 積の微分、合成関数の微分、商の微分の導出 ➡ 中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう ➡ ブログ ➡ 「さあ行こう！」家族で自転車旅！」
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ちょっと覚えられないけど、なんか、三次元だからだという気がしてきた。だから三つに割って平均を取ると真ん中が出るので、三分の一になる。
小学生に説明するとしたら、こんな感じかなあ。
直方体の内側にピタっとくっついた円柱は、直方体のπ/4の体積です。
正方形の四角錐の内側にピタっとくっついた円錐の体積は、正方形の四角錐のπ/4の体積です。
直方体の内側にピタッとくっついた三角錐の体積は、直方体の1/3です。
そこから、直方体の内側にピタッとくっついた円錐は、直方体のπ/12の体積だとわかります。
まとめると、このようになります。
「直方体の内側にピタっとくっついた円柱は直方体のπ/4の体積で、直方体の内側にピタッとくっついた円錐は直方体のπ/12です。」
つまり、円柱と円錐の体積の比率は、π/4 : π/12 = 3:1 になります。
冒頭の【ああそうですか…】めっちゃおもろい
錐の体積が１／３になるのは難問中の難問だね。
中学生の頃あれこれ挑んでみたが結局全部ダメ。
放物線の面積計算と等価になることぐらいは分かったが。
結局、自力では微積に到達できなかったな。（まぁそんなことは当たり前なんだけどｗ）
それでも厨ニ少年は厨ニ少年なりに敗北感を味わったものでした。
もちろん1/3ぐらい古代から知られていただろうけど
ニュートン以前の人はいったいどうやって一般的な証明をしたんだろうね？
5:39のところでなぜプリンの形がhS(m)で表せるのかを教えてください
平面(2次元)の時の三角形の面積の公式が、
立体(3次元)の時の錐の体積の公式に対応しているのではと考えたのですがどうでしょうか。
底辺×高さ÷2 ↔ 底面×高さ÷3
先生質問なのですがｈが限りなく０に近づくと何故ｍはｘにほぼ等しいと考えられるのでしょうか？普段から勉強不足かもしれませんので，もし変な質問でしたらすみません。
Σ[k=0,n-1]π((k/n)r)^2(h/n)≦V≦Σ[k=1,n]π((k/n)r)^2(h/n)
πr^2 h(1-1/n)(2-1/n)/6≦V≦πr^2 h(1+1/n)(2+1/n)/6
lim[n→∞]πr^2 h(1-1/n)(2-1/n)/6≦lim[n→∞]V≦lim[n→∞]πr^2 h(1+1/n)(2+1/n)/6
πr^2 h/3≦V≦πr^2 h/3
とてもわかりやすいです。
数学に暗記なんてありませんね。理由が大切だと分かりました。
最初の話で笑ったw
一覧をざっと見た感じ、ベクトルの問題が少ないことに気づきましたが、私の気のせいでしょうか。是非ベクトルの問題の動画を一度拝見したいです。
感動しました…！
先生、1/3はどこから出てきたんですか？
細かいですが、最後、板書の V(x) は V(l) ですね。
三角錐の場合に示してやり、底面が任意の多角形でも三角錐で分割すれば同様であることを説明し、
そのうえで円錐も頂点が多い多角形で近似していけることを直感的に説明すればそれほど難しくなく説明できると思われます。
正確に論理は組んでいませんが、説明にカヴァリエリの原理を使う必要があるかもしれません。
（カヴァリエリの原理も、積み重ねたコインをずらす話などでたとえやすいもののため、受け入れやすいものと思います）
素晴らしくわかりやすいです。このような単純な内容ほどわかりやすく説明するのが難しいと思います。プリンの形の物体の体積を円柱に仮定し、そこから積分の式を出すセンスがほしいです笑。
私が中学で教えられたときは先生が高さと半径が同じ円柱と円錐の容器を用意して、円錐に汲んだ水を円柱に移してぴったり3杯で満杯
って事で説明？されましたよ。
これなら小学生にも分かる気がします。
abcd
efghの直方体（aとd、eとhが隣合いaとeが上下の関係）
その時a-efgh、a-bcgf、a-cdhgの3つの合同の四角錐が出来ますよ！（※図にしないと分かりにくい）
そうすればa-efghの錐がabcdefgh、直方体の体積の3分の1と言えます。
任意の三角柱は三つの体積の等しい三角錐に切断できることは小学生にも理解できると思います。
多角錐は、頂点と底面への垂線の足、底面の各辺を結ぶ三角柱に切断できるので、各三角錐は底面を共有する三角柱の1/3であり、多角錐は多角柱の1/3となる。円錐は角錐の辺を増やした極限と考えられ、やはり1/3となる。のような説明で納得できるように思いますが。
というか、角錐の体積が1/3になる証明は中1レベルでできますよ。底面が曲面の場合は近似すればいい。
円錐以外が2/3は草
すいの体積が1/3になる理由は大体知ってて復習がてら見てたのですが、体積の関数の微分が面積になる理由はあまり理解してなかったので、そこまで分かりやすく説明して下さってとても有難いです！
この動画を見て初めて錘が何故1/3になるのかがわかりました。ありがとうございます。