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43 thoughts on “コーシーの関数方程式/Cauchy's functional equation | すべての最も完全な文書関数 方程式

  1. Y G says:

    いつも見てますこの方程式を解く過程で、任意の実数aにおいて、f(ax)=af(x) ①を示し、①を用いてf(x)が全ての実数xで微分可能であることを示すことを考えているのですが、微分可能性が仮定されていないとこの方法はダメなのでしょうか。

  2. proper_TAJIRI says:

    fがRからRへの連続関数であったとき、Q上でのfの値が全て判明していれば、fは一意的に定まると言う奴ですね。そのことを用いると「RからRへの連続関数の"数"はとても少ない」ということも言えますね。
    (正確には濃度という集合論上の概念を用いて説明するものですが)

  3. 古田真 says:

    コーシーの関数と呼び名が楽しい。これしかない。うふ。任意の実数。原点を通る。奇関数。
    基礎論の範疇なのか。数学的帰納法。全ての自然数、全ての有理数、で実数まで広げる。
    これを自然な緊張感で説明できるか?
    限りない有理数で成り立つから実数でも成り立つ。連続性を言って居る。この説明タッチって
    慣れて居るが納得して居ない私は居たね。
    まあ、定義ごっこだが別の表現も考えなかった。稠密性・稠密性 発音変えて同じだね。
    表記のテーマでもある。手順の説明vs定義の説明 基礎論だろうね。忘れても困らない。うふ。連続からスタートもあったなあ。

  4. アーバンN says:

    最後の有理数の稠密性っていうのは高校数学のlog(ax)=alog(x)(0<x)でaが0より大きい任意の実数で成り立つことでも使えますね!
    理屈ではわかってたのですが厳密な証明を見ることが出来てスッキリしました!

  5. ダン says:

    連続関数に制限すると、加法性のみで線形性が満たされるのか。知らなかった。不連続関数まで含めると、加法性を満たすけど斉次性を満たさないものがあるって事?

  6. 飛鳥未来夢 says:

    4〜5年前の東北大入試で類似問題を見掛けたような…

    “abs(x) < 1 で定義されるf(x)が下記の性質を満たす場合、その関数f(x)は?”

    A)abs(x,y) < 1なる任意の実数x,yに対し、
    f((x+y)/(1+xy)) = f(x) + f(y)

    B)f(x)はx = 0で微分可能で、その値は1

    結論をいうなら、”f(x) = artanh(x)”
    [※tanhの逆関数、即ち「逆双曲線正接関数」]ですが、丁度良い位の難易度な気がします。

  7. tiger black says:

    f(x+y-1+1)=f(x+y-1)+f(1)

    f(x+y-1+1)-f(x+y-1)=f(1)

    左辺は差分Δで表すと

    Δf(x+y-1)=f(1)

    u=x+y-1とおくと

    Δf(u)=f(1)

    両辺の和分Σをとって

    f(u)=Σf(1)=Σ(f(1)u^0_ )=f(1)u^1_+C=f(1)u +C (u^n_は下降階乗冪、Cは和分定数)

    u=1のとき

    f(1)=f(1)+C



    C=0

    よって

    f(u)=f(1)u

    uをxに置き換え、f(1)=aとおいて

    ∴f(x)=ax (aは実数)

  8. Kojiro Nakamura says:

    理系大学生がほとんど1年生とか2年前期で履修して、院試でも使うことが多い線形代数と解析学を攻めるとは、なかなかやるな

    いつも助かってます

  9. りりいる says:

    10進法で無限に桁数を増やせばいかなる実数をも表せる……ほんとにー?(慎重派)

    そういった事もちゃんと証明できるε−δ論法は偉大だなあ。

  10. Y Ta says:

    ∀x,y∈ ℝ, ∀δ,γ∈ ℝ f(δx+γy)=δf(x)+γf(y)
    みたいなかんじ⁇
    えーこれは、、、つまり、、、
    fは線形写像⁇

  11. JOA ch says:

    証明の全体像(何を示せば示したことになるのか)に対しての説明が欲しいです。
    例えば今回の場合だと実数で直接示す事が困難な理由やその為に自然数から構成的に示していく事、格集合(自然数の集合や整数の集合など)でどの様な性質を確かめるのかをアナウンスしてから入ると全体の流れがスッキリして観れると思います。

  12. Aoyama2019 says:

    今回も勉強になりました。
    いつもありがとうございます。
    そういえば最後の
    実数に拡張するときの議論って関数の微分可能性って
    必要としないのですか。

  13. ライ麦 says:

    線形性の説明で答えだけ習ってましたがイメージがいまいち掴めてませんでした。今少し理解できました。

  14. 早河一郎 says:

    一次反応では初期濃度をA0、t時間後の濃度をAとすると、ln(A/A0)=-ktが成り立つと思いますが、これはコーシーの関数方程式ですか?

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