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43 thoughts on “ルート2=2の誤証明[「連続」を理解する] | ルート 2 の 値の情報を最もよくカバーします

  1. 茶葉 says:

    結局、京都の街を対角移動したい時はカクカクの回数が多い方が楽チンなの?(答:230円でバスに乗れ)

  2. ナツメ says:

    座標系において「x軸に垂直な線」は、入力値xに対して出力値が無数に存在することになり関数とならないので「長さ」としては認められないというところに行きつくのかなって思いました

  3. temp19981 says:

    高校でlimを習ったときに納得いかなかった話そのままのネタでした。
    当時の気持ちになっても、この話は納得など行かないと思いますし、L∞の時だけ√2というのも結論先取り的で納得いかない予感がします。
    ここは、素直にマンハッタン距離などを紹介してあげた方がすっきりする予感がします、プリント基板やIC内の配線距離等に応用も多様にありますし、円(見た目は四角)の接触判定等の簡単な例だけを使って突っ込んだ話でなければ難しくもないので少し説明すれば多様な距離概念が身近になると思います。

  4. 匿名希望 says:

    旧帝大数学科卒業の者です。要するに関数解析の話ですね。完全に理解できないので教えて頂けないでしょうか?
    1.関数の集合に最大値を対応させるとありますが、要素であるL1からL∞にはそれぞれ値があるのでしょうか?またsupノルムの位相とはどのようなものでしょうか?具体的に開集合族を示して頂けないでしょうか?
    2.関数の長さを求める関数とは、(L1,L2,,,L∞)→(2,√2)という事でしょうか?この関数が連続でない事はどのように証明するのでしょうか?やはり開集合の逆写像が必ずしも開集合ではない事を示すのでしょうか?

  5. 松平 昌久 says:

    これnに自然数しか入らないから{Ln}っていう数列で考えてこの数列が一般式ないから極限L∞は急に‪√‬2とるんやなって思いきかせてきたから若干スッキリした

  6. ワカトセのデュエマ旅 says:

    質問が2つあります。
    ①長さ1の正方形の頂点を、左上から右周りにA,B,C.Dとします。そして、頂点B.Dを通り、中心が半直線ac上にある円を考えます。そして、その円の半径をrとします。
    この円の半径rのを無限に大きくします。その時、弧ACの長さは√2ですか?
    自分は、円は連続する関数だから、弧bdの長さの値はは√2に収束すると思いました
    ②線分bdと、動画内のグラフl1との間には、距離が(2+√2)/2かつ、線分acに対して線対象かつ、常に傾きが増える曲線が引けると思っています。それが成り立つと過程して話を進めます。
    この曲線は特別な名前はありますか?また
    l1に対するこの曲線をm1としたとき、m∞の長さはどれくらいですか?私はこれも2になるのではないかと予想しています。

  7. らぷらす †ざ・わーるど† says:

    数Ⅱ落第点の私が、自分なりに理解したことを数学的な用語じゃないですが書いてみます。
    間違ってるかもしれません。

    階段を無限に小さくしていくと目の解像度が低いので斜めの線に見えますが、よく見える顕微鏡で見れば結局L1図と同じ関係の連続でしかないです。
    もう少しだけ大きく見ると、正方形の2辺と対角線の連続でしかないです。

    つまり、縦1横1の線とそれの端を繋ぐ斜線の関係が繰り返されているだけです。
    縦と横の線が無限に繰り返されるなら、斜線も無限に繰り返されます。

    で、今の図形に戻りますが、縦1の線と横1の線の長さの合計より、斜線はどうみても短いです。
    だから、斜線は2では確実にありません。この縦横の線と斜めの線の関係は、無限に細分化して繰り返されても同じでしょう。
    少なくとも斜線は縦横の階段線よりハッキリ短いはずです。
    階段を無限に繰り返すと斜線が2になるというのは変な気がします。

    つまり、この誤証明で抜けている説明は、斜めの線も無限に繰り返されているという点だと思いました。

    ということで2より短いのは言えたとして、じゃあ√2なのかということは、前述の通り数学苦手マンなので…。
    平方根の定理を暗記しつつ、水の入った解説模型回してみて目で納得した、というくらいです…。

  8. 夏みかん says:

    線は極小の場所にいくらでも長さを折りたためるらしい。だから、見かけはただの線分と変わらなくなっても、折れ線の折れがなくなるまでは全長2を保持する。長さ2が√2になるのは、微細な折れが一斉に消える瞬間だ。√2/2という、四角形の頂点から対角線までの有限の距離だけ動いたら、一斉に消える瞬間は必ずやってくる。

  9. goldenbomber 2 says:

    因みに、さすがに、あっぱれですが、
    ここまで、パラドックスを高等に示されるならば、
    『何か元ネタは無いのか?』
    と、かんぐりたい(..)

  10. Roy Zhang says:

    The polygonal paths along the diagonal of the square uniformly converge to the diagonal. However, the lengths of them will not converge to the length of the diagonal. You will understand it if you check the formula for the length of the graphs of functions: the derivative of the function appears in the formula! In general, the uniform convergence of functions does not imply the convergence of their derivatives.

  11. uyuuyu says:

    どんなに折る幅を小さくしていっても
    折れ線が直線と一致することはない
    っていう理解でいいのかな……?

    すごく単純にいえば……

  12. 寂筑羽 says:

    英語で数学学んでるから、日本語の用語よくわかりませんが。
    まず「曲線に長さを求める関数」は英語ではfunctionではなく、functional(関数を入力して数字が出てくるマシン)と思います。なのでfunctionalの連続性に対する討論の結果は、考慮してる関数や極限の定義によって変わってきます。例えば、1回微分可能の関数や微分した関数まで収束する場合なら、このfunctionalは連続である。ただこの動画の中では連続関数しか考慮していないため、このfunctionalが連続ではなくなります。自分の観点からすると、この動画内の説明大雑把すぎて、要点をつっこめていません。
    結果だけ言いますと、このfunctionalの計算は微分を使うので、Ln→L∞は各点のみ収束し、微分は収束していないため、結果が変わった、ということになります。
    小学生でもわかるような言葉で説明すると、Lnの曲線は、角を除いだ各点では縦か横しかなかったが、L∞が急に斜めになったから、最後だけ長さが違った、といったところと思います。つまりnがどんだけでかい数字であっても、Lnの長さを測るときは縦横移動して測っていますが、Lnになったら急にショトカして斜め移動して測ってますから、そりゃ短くなります。

  13. mokiresu says:

    もっとシンプルに、折れ線の長さを縦と横の合計と考えると、L(n)=(1/n)✕n+(1/n)✕n=2となるので、nに依存しない事が分かります。よって、n→∞の時にルート2になるといった幾何学的感覚が誤り、と言えるかと思います。

  14. 霧演歌 says:

    板書の右上のlim n→∞ 2=2が正答なのに=√2としているのが間違いっていうだけでしょう。折れ線の長さf(x)はxに依存しないで恒等的に2なので連続ではありますよ。=√2になるのは各三角形斜辺の合計長の極限であるlim n→∞(n√2/n) で、式がすり替わっているのだから誤証明となるのは当たり前です。

  15. E Air says:

    lim f(x) = f(lim x)
    結局これなんだよね
    高校生はまだピンと来ないだろうけど、大学は連続性の確認をめちゃくちゃ厳密にやるから、すごい勢いで脱落していくw

  16. redanntube says:

    連続の概念が良く理解出来ました。

    ただ、
    誤解のポイントに書かれていた、「曲線に対して関数が連続でない」という部分。

    証明の例では、正方形に対角線を引いて導出しようとしていて、何でいきなり「曲線」が出てくるのかが理解出来ませんでした。(ToT)

  17. G O says:

    こういうマラソンコース作ったらものすごいタイム出るんじゃないかな。
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  18. 肉体覇王Jalmar says:

    なんかコメント欄には内容を理解してないやつ結構いるが、数学力の問題というよりむしろ日本語の読解力が危機的状況なのではなかろうか

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