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「思若複素数平面」の第3弾は、1の問題のn乗根を体系化したものです。 数学塾で出会った数学が面白いほどよくわかるシリーズです。 高橋 望 ★☆★☆↓↓↓↓ 4度の大学受験失敗を経て、大阪府立大学工学部数理工学科に入学。 在学中から予備校講師を目指して塾や予備校で数学の講師を務め、30歳で獣医予備校VETを設立。 大阪に1校しかありませんが、その合格率の高さから北海道から沖縄まで全国から人が集まる予備校に発展しました。 算数で悩んでいる多くの人の一助になればと願い、デンジャラスクイーンの愛称で数学教室の動画を配信している。 モットーは、高品質で包括的なビデオを作成することです。

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6 thoughts on “1のn乗根の問題を体系化【複素数平面が面白いほどわかる】 | 乗 根の情報を最もよくカバーします

  1. 合八一合のYouTube高校数学 says:

    備忘録70V" 【 ド・モアブルの定理 】 ⑴ z⁵ = 1 省略■
    〖 参考 〗z= cos2π/5 +i sin2π/5 のとき、zⁿ= cos2π/5・n +i sin2π/5・n
    ( zⁿ )⁵ = cos2π・n +i sin2π・n ⇔ ( zⁿ )⁵ = 1 だから、
    zº, z¹, z², z³, z⁴ は、x⁵ = 1 の異なる五つの解である。⑵ z⁴ = -8+8√3 i 省略■
    ⑶〖 別解 〗 z⁶+z³+1= 0 ⇔ ( z³-1 )( z⁶+z³+1 )= 0, z³ ≠ 1 ⇔ z⁹ = 1, z³ ≠ 1
    よって、 z= cos40°・n+i sin40°・n ( n= 1, 2, 4, 5, 7, 8 )
    ⑷ z⁵ = 1 だから、( z-1 )( z⁴+z³+z²+z+1 )= 0, z≠ 1 だから、z⁴+z³+z²+z+1= 0 ■
    これより、 ( z+z⁴ ) + ( z²+z³ )= -1 ⇔ ( z+z* ) + ( z²+z²* )= -1
    ⇔ 2・cos2π/5 +2・cos4π/5 = -1 ⇔ cos2π/5 + cos4π/5 = -1/2 ■
    z⁴+z³+z²+z+1= 0〖相反形〗 ⇔ ( z+1/z )² +( z+1/z ) -1= 0 ( ∵ z≠ 0 )
    これより、 w²+w-1= 0 ・・・① ∴ w²+w= 1 ■ ①より、w= (-1 ± √5 )/2
    ここで、w= z+z* = 2・cos2π/5 だから、cos2π/5= (-1+√5 )/4 ■
    ⑸ z= cos2π/5・n +i sin2π/5・n ( n= 0, 1, 2, 3, 4 ) とおくことができて、
    z⁵= 1 より、 1, z¹, z², z³, z⁴ は、 x⁵ = 1 の異なる五つの解である。
    ( x-1 )( x⁴+x³+x²+x+1 )= 0
    ( ⅰ ) x= z= 1 のとき、A= 2・2・2・2= 16 ■
    ( ⅱ ) x= z≠ 1 のとき、x⁴+x³+x²+x+1= ( x-z¹ )( x-z² )( x-z³ )( x-z⁴ ) ・・・①
    z⁵= 1 より、A= ( 1+z¹ )( 1+z² )( 1+z⁴ )・( 1+z³ ) = 1 ■( ∵ ①で x= -1 )

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