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京都大学特別入試の4問を見てみました。 難易度調査というか、普通に問題を見ただけです。 大学院で数学の勉強を終えましたが、正直全部解ける気がしません。 1、3、4が解けたとしても、2問目は放棄。 2番目の質問を解ける人はもう天才だと思います。 数学に自信のある方は、京都大学の特別入試に挑戦してみてください。 そして、日本数学会をリードしてください！ ! ! ! ! ! ! ※管理画面ではチャンネル登録者以外のコメントは非表示になっています。 チャンネル登録後、質問にお答えできます。 ＜とんすけのプロフィール＞ 中学：ネトゲ廃止（プレイ時間20,000時間） 高校：偏差値43で英語に不備のある公立大学：立命館大学数理科学科首席大学院：ワシントン大学大学院（確率専門）現在: データサイエンティスト/ビジネスコンサルティング ー機材等・使用カメラ・使用レンズ・ラインスタンプ — 参考文献・出典 — 以下、参考(引用) 京都大学 特徴: BGM: ※リンク先にはAmazonアソシエイトが含まれます※💛のないコメントはシステム上読み込めません メール：[email protected] #京都大学数学 #数学 #京都大学特色入試
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[4]は字が見えませんが、ブラウン運動の鏡像の原理っぽいですね。
[2]は「コンパクトな領域の連続関数には最大値が存在する」こと使って良いのですかね？でしたら、A₁〜A_5が正五角形をなさないときは、A₁A₃≠A₁ A_4として一般性を失なわず、A₁A=A₁ A_4となるようにA₁を移動してもっと大きく出来る(面積の差は三角形A₁A₃A_4の差になります)ので最大ではない。よって最大はA₁〜A_5が正五角形をなすとき、と出来るのですが。
[3]
S = {(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3) {n=1,2,3,….}} とする。
これが条件を満すことを確認する。
(i) (9n²-1)²-(9n²-3)² + (8n+5)²-(10n+4)²
= 2(18n²-4) + (18n+9)(-2n+1)
= 36n²-8 – 36n²+ 9 = 1 より成立
(ii) 9n²-1, 9n²-3, 8n+15, 10n-12はいずれもn>0で狭義単調増加なので
nが異なれば(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3)は異なる。よってSは無限集合。
(iii) (d₁, d₂, d₃, d_4)≠(0,0,0,0)なる(d_1, d₂, d₃, d_4, d_5, d_6)
を固定するとSの元(a₁, a₂, a₃, a_4)=(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3)
d₁a₁ + d₂a₂ – d_5 = 9d₁n²+10d₂n + <d₁, d₂, d_5, 1の線型結合>
と表わされるので、(d₁, d₂)≠0であるとき、これはnの2次関数か傾きが0
でない1次関数。よって、それが0になるnは高々2個。
また、
d₃a₃ + d_4a_4 – d_6l = 9d₃n²+8d_4 n +<d₃, d_4, d_6, 1の線型結合>
と表わされるので(d₃, d_4)≠0であるとき同様に0となるnは高々2個。
(d₁, d₂, d₃, d_4)≠(0,0,0,0)であるから(d₁, d₂)≠0もしくは(d₃, d_4)≠0
となるので、題意の集合の要素数は高々2であり有限集合。
[1]
係数の絶対値の総和をM, 次数の最大をkとすると、多項式の各項で係数を1にしたもの絶対値はx₁〜xₙが整数とすると max(|x₁|〜|xₙ|)^k以下なので、整数x₁〜xₙに対して三角不等式から
|P(x₁,…, xₙ)| ≦ M max(|x₁|〜|xₙ|)^k
ここで、d≧max{2, k+1}, c≧M かつ、i=1〜nに関して|a_i|< c^(d^i) が成立するようにc,dを大きくとる。
nは有限なので、これは可能(e.g. d≧max{2,k+1}を一つ固定、c≧max{M, max{i=1…n}(log a_i/logc)^(1/i)}
なる実数を一つとる)。
i≧n+1に対してk≦i-1なる正の整数すべてについて|a_k|< c^(d^k)が成立するとする。
このとき、
|a_i|=|P(a_{i-n},…, a_{i-1}| ≦ M max(|a_{i-n}|〜|a_{i-1}|)^k < M {c^(d^(i-1))}^k
ここで条件より、
(d-k)(d^(i-1))logc ≧ (d^(i-1))logc ≧ logM
よって (d^i)logc ≧ logM + k(d^(i-1))logc すなわちc^(d^i) ≧ M {c^(d^(i-1))}^k
よって |a_i| < c^(d^i) となり|a_i|< c^(d^i)が成立する。よって数学的帰納法により
任意の正の整数iで|a_i|< c^(d^i) が成立する。
※三角不等式の利用と、題意より強く|a_i|< c^(d^i)を言うのがポイントですね。
コメントしてる人が猛者ばかりなのが草
なんか、ツイッターの賢い数学オリンピックに出ようとしてる中学生たち演習材料として解いてて笑ったw
ちょっと考えてみた感触
問題1
十分大きい整数Nに対してi≧Nのとき|a_i+1|≦|a_i|^dとなるようなdがとれるのでは？
その場合1≦i≦Nを満たす全てのiに対して|a_i|<c^(d^i)となるようなcがとれれば題意を満たすが、|a_i|^(1/d^i)の1≦i≦Nでの最大値があるのでそれより大きなcをとればよい
|a_i+1|≦|a_i|^dに関してはP内のx_nの最大次数か、全体の最大次数あたりが臭い
問題2
A_n（n=1,2,3,4,5）の座標を(cosθ_n, sinθ_n)と置く。（0≦θ_1<θ_2<θ_3<θ_4<θ_5<θ_1+2π）
S=（△A_2 A_4 B_4の面積）+（△A_3 A_5 B_5の面積）+ S1になるので、頑張って計算すればSが出せて、きっと隣り合うθの差に関する対象式になるはず
場合によってはθ_1=0に固定しても良い
でも計算面倒臭い
問題3
いろいろ試行錯誤してみないと方針も立たない
問題4
とりあえず計算してみるしかなさそうだけど(1)から無限級数でつらい
数オリの問題みたいで草
中学時代、なんのネトゲにハマっちゃたの？
これ首席で受かった子が高校同期です
噂によると1時間余らせてほぼ全完したみたいで、なんで公立高校にこんなバケモンおんだよって思いました笑
問題を解く人もすごいけど作る人の頭の中はどうなっているんだろう
ちょっと解答作ってみました
２⃞が受験縛りだと難しい
１⃞(xᵢ) ∈ ℝⁿに対して
Q((xᵢ)) = ( x₂, x₃,…,xₙ₋₁,P(x₁,x₂,…,xₙ))
とする
① : | pₖ | ≦ c、pₖ≠0であるkに対してkの全ての成分≦e
② : pₖ≠0であるkの数≦c
③ : 2 + e dᵗ ≦ dᵗ⁺¹
を満たす正規の数c,d,eをとる
Kₜ = {(x₁,…,xₙ) | |xₖ| ≦c^(d^t) }
とすれば
(xᵢ)∈Kₜ → Q((xᵢ)) ∈Kₜ₊₁
である
このとき
| P((xᵢ)) | ≦ Σ | pₖ(x)ᵏ |
≦ Σ | c c^( e d^t ) | ( ∵ ①)
≦ | c×c×c^( e d^t ) | (∵ ② )
= | c^( 2+e×d^t ) |
≦ | c^( d^(t+1) ) | (∵ ③ )
高校生が解く問題なのかよ…
2問目解けましたが、この中では一番易しいと思います。
５角星の各点が単位円上で順番に並んでて、 星＋真ん中の五角形 の最大面積を求めろって話ですね。
(1) 4点固定した時の最大条件は、動点と離れてる側の星の２頂点の垂直二等分線に動点があること(A1を動かすなら２頂点はA3, A4が該当)
(2) この処理の動点をA1~A5にして適用すると、A1~A5は上述した離れてる側の２頂点の垂直二等分線上に存在せねばならない
(3) (2)より、A1に対してA3が中心からの偏角αとするとA4は偏角2π-α、A2, A5の偏角は2π-2α、2αに限られる
(4) A2, A4, A5が (2) を満たす条件より α = (4/5)π. → 5点が等間隔に並んだ対称な星形
(5) あとは面積求める。
(1) は4点固定すれば面積も固定される部分が出てくるのですぐ条件出せる。
(3)と(4)は垂直二等分性を偏角で条件付けするだけ。
半径しか寸法情報がないため (5) だけちょっと面倒。
初手の予選決勝法的アプローチさえ思い浮かべば流れで(5)までいけるし、中学数学で十分記述可能です。
ただ、受験なんて水物だし、試験場で時間内に相手するにはかなりきついタイプの問題ですね。
もしこれが国立２次受けた時に出されてたら発狂するだろうなぁ…
大学への数学で見て絶望したやつだ…
二問目はペンタグラムの定理を使うんだと思います。(適当)
最近の一般の数学めちゃくちゃ簡単だと思ったらこんなとこでバランス取ってたのかw
これは河野げんとでも解けないの？？
71/80取ってた人がいたなぁ
マジで天才だった
何年か前はそこまで難しくはなかったんですけどね、、
碁石を交互に取って行く勝負で、後手必勝の個数が無限個存在することを示す問題は、レベル的にも解きやすくて面白かった覚えがあります！
友人に京大の特色に行った人がいますけど、その方はシンプルに数学ゴリラでした。受験期にも数学が好きすぎてやめられず、数学オリンピックの問題を解いたりとか大学の整数論の本を読んでいましたね。特色に受かるのは本当にそのレベルの怪物なのだなと思いました。ただ、京大の特色は高校生にとっては日本語が難しいので大学数学に割と馴染んでいたら発想はそこまで難しくないみたいな問題も割と多い気がします（笑）逆にそういう問題なのか判定して、それをきっちりとれれば合格できるので数学好きの高校生にはぜひ目指してほしいです。
今年一般で京大(工)に進んだ者ですが、友人に理学部数学特色で受かった人がいて、話していると自分は数学全く出来ないんだなって思わされます…
問題をぱっと見た時の理解力や回答までの筋道の立て方が段違いに早いです…
2問目は半径1の円が登場していることからも複素で解けそうかなと思います。
まず問題が読み取れないです、本当に高校生が解くの、、
実際にその入試会場に居た者です。
大門1は割と簡単に解けました(クソガバ評価をしまくる)。
試験後、一緒に受けていた友人と翌日の面接に備えて、2人で取り組んだのですが、9時までやっても分からなかった所はひとつも解決しませんでした。
合格発表はオンラインでした。結果は両方不合格。2人とも面接に進むことが出来ませんでした。
その時は、8時間かけて解けない問題を4時間で解けるわけがなかったんだろうという思いになっていました。友達と2人で泣きながら帰ったのを覚えています。
一般二次も振るわず、不合格でした。
今は予備校で浪人生をしています。次は必ず京理に行くために。
2問目と3問目だけ一瞬方針見えたと思ったけど、その後のこと想像したら気持ち悪くなってきて見るのやめました笑
試験時間全部使っても問題の意味も読み解けなさそう
見てみようと思う時点ですげえ笑
東大模試で数学偏差値96だった友達が試しに解いたら一完でおわったらしいw
サムネ黒染めの天心に見えてくさ
1）は数学的帰納法でしょうか。
a_n-1とx_n-1の最大値を用いて上限が決まるのかなと思いましたが問題のP( )がよくわかりませんでした。
2）はあまり問題が見えませんでしたが五角星を細かく描写してるだけのように思えました。とすれば円周上の点は正五角形を目指したいところですが、領域が１つ足りないような。。。
3）は色々実験しないと分からなそうですね。
4）は文字が細かくてオジサンには辛くて断念しました
京大理学部に入るのに必要な労力と違いすぎる……
おおお
去年の特色58/60で入った人同級生にいますw
数学そのものが好き過ぎる猛者なら解けそうですね（？）
このテストが出来さえすれば京大に入れるの！？
その問題を試験会場で解きました。
全然できなかったけど楽しかったです!
確率論が専門なんだ！！
今は社会人であまりやってないけど、僕も専門でした！
1完でもすれば受かるらしいです(噂程度ですので悪しからず)
最後の大問は大学範囲らしいです