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こんなのでどうでしょう。間違ってたら教えて下さい
背理法
問題文より、4つの連続する自然数が平方数になるとすると、自然数nを使って
√(n-1)×n×(n+1)×(n+2)
=√(n-1)(n+1)(n+2)×n
が整数になる。
よって、(n-1)(n+1)(n+2)がnと異なる自然数m,kを使って、 m^(2k)・nと表される
しかし、(n-1)(n+1)(n+2)はnを約数に持たないため、平方数になるためには
nか、(n-1)か、(n+1)か、(n+2)が0である必要がある。
しかしnは自然数なので、いずれも4つの連続する自然数であることに矛盾する。
わとさのせき
考え方って全然教えてくれないけど数学で何よりも大事だと思ってる。
動画で紹介していたのもそうだけど、求めたいものをゴールとしてそこからどんどん遡る逆算みたいな考え方も結構役に立つ。
学校で「数学は"できる奴だけ"の娯楽」みたいになってて、数学を苦手としている人や文系を選んだ人が下に見られる風潮にはうんざりしてるけど、そういう人たちにはならずに数学得意になろうと思います
小学生です
①、②、③、④（小さい順）とすると
奇数番目または偶数番目は
絶対二の倍数じゃ無い（奇数）から、
残りの２つを考えた時、２の何乗かを考えれば
2のn乗・2のn+1乗になるので
平方数にはなりえないんじゃないかと…
でもたぶんそんな単純じゃ無いですよね💦
優しい方、間違っている所教えていただけると嬉しいです！
２と３の因数に着目して式変形していたら、JMO2004年本選の第一問の形になりました。
逆にたどれば、JMO本選問題の別解を与えるということになりますね。
数学的帰納法
n=1のとき24なのでok
n=kのとき与式が平方数でないとすると、
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)
mod4で考えると前半の式は余りは必ず2か3で、後半の式は必ず余りは0となるので余りは必ず2か3となってしまうので平方数とならない。
平方数に関しての問題での解法をだいたいmodとか平方数で挟むことしか知らなかったので凄くためになりました！
連続2整数の積が平方数にならない、の証明と同じようにして解けました。
最初の自然数nにしておんなじように展開したら(n+1)^4-1になるから無理的なんじゃダメかな
mod4とか使っても大丈夫ですか？
積の素因数2が奇数個だから、ではダメ？
千と千尋の下り好きすぎる！わろてまいました。すみません。数学勉強しに来てるのに。
最後の部分の論証の一案として…
a,bは自然数とする。
平方数から1引いた数が平方数であると仮定すると
a^2-1=b^2とすると(a-b)(a+b)=1となりa,bは自然数より積が1となるのはa-b,a+bが共に1であるときのみであるがそのようなa,bは存在しない。
∴平方数から1引いた数は平方数ではない。
素因数2を奇数個持つため平方数にならないと考えたのですがどうでしょうか
2つの平方数で挟む不等式を作って示す事もできますね
引き出しは多い方がいいもんね
f(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)とする
f(n)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)
=a^2+2a
(a=n^2+3nとおいてaは4以上の自然数)
この式をaとa+1の2乗と比較すると
a^2<a^2+2a<(a+1)^2
よってf(n)は平方数とはならない
いろんな整数問題で平方数が出てきたらmod3やmod4と解説していましたが、今回は使えますか？
9:07
得意とかそういうレベルではない笑
mod3と隣り合う自然数は互いに素、とか組み合わせても解ける気がします？
nとn+3, n+1とn+2をセットにして展開すると(n^2+3n)(n^2+3n+2)
ここでA=n^2+3nとおくとこの式は
A(A+2) となるからこれが平方数になるか調べたらよい。A(A+2)=B^2 として(A,B)の組み合わせを求める。
ここでA>0からA+2>Aだから
A+2=B^2, A=1の組み合わせ以外存在しない。しかし、A=1 を代入すると、B=±√3となり、整数の2乗にならないから連続する4つの自然数の積は平方数にならない。
n~n+3の積の因数である2や3の個数に着目してもとけそうですね
動画の最後の部分の論証については,正整数nに対して,n<n+1よりn^2<n(n+1)<(n+1)^2であるから,平方数から1を引いたものは平方数ではない. ということで示せますね.
もしかして「自然数からなる等差数列の連続する4項の積は平方数にならない」まで成り立ちますか？
f(n)=(n-1)n(n+1)(n+2),n≧2とおいて、f(n)が平方数であるためには、数の大小関係から
(n-1)(n+2)=n(n+1)
の等式が成り立たねばならない。しかし、これを満たすnは存在しないので、f(n)は平方数ではない
とやったんですが論理性は大丈夫なんでしょうか…
なんか、すごい、、手品を見てる気分でした…中学だと｢まず文字において｣を大切に、いきなり式に表して計算すると解けましたが、高校だとそういうわけにいきませんね。実験が大事になるんですね！
質問なのですが、すべての平方数の間が1より大きいことも式を用いて証明する必要がありますか?
k≧2として(k-1)k(k+1)(k+2)とおき、これが平方数だと仮定すると、最大公約数が1である(k-1)(k+2)/2とk(k+1)/2がどちらも平方数である必要があるが2数の差が1なので矛盾。
概形ですがこんな感じで示しました。実験無しで解き始めたので動画のように簡潔ではないですが。
これの類問をマスターオブ整数で見たことあるわ
同じ解法でした。
というより連続する４自然数の積に１を加えた数は必ず平方数になることを知っていましたので…。