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a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) について 扱ってみました。
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これ数1になりましたね…
高一ですが黄色チャート解いてたら同じ問題でてきました…むずいです
わかり易すぎです！
この「a+b+c=0のときa³+b³+c³=3abc」という性質をさらに突き詰めると、面白いことがわかりました。
p,q,rを任意の整数として、(pa+qb+rc)³ +(pb+qc+ra)³ +(pc+qa+rb)³という式を考えてみると、次のような関係性が出てきます。
(1) (pa+qb+rc)³ +(pb+qc+ra)³ +(pc+qa+rb)³ -(p+q+r)³(a+b+c)³ = -3{(p+q)a +(q+r)b +(r+p)c}{(p+q)b +(q+r)c +(r+p)a}{(p+q)c +(q+r)a +(r+p)b}
(2) (pa+qb+rc)³ +(pb+qc+ra)³ +(pc+qa+rb)³ -3(pa+qb+rc)(pb+qc+ra)(pc+qa+rb) = (p³ +q³ +r³ -3pqr)(a³ +b³ +c³ -3abc)
(1)の場合、p+q+r=0のケースなら、三乗の式三つだけで因数分解できます。例題の場合はp=1,q=-1,r=0とおけば例題と同じ形になります。
同じような形で、(a+2b-3c)³ +(b+2c-3a)³ +(c+2a-3b)³のような場合でも、p=1,q=2,r=-3とおくと、p+q+r=0となるので因数分解できることがわかります。
そうでない場合はp,q,rの係数を比較して、-(p+q+r)³(a+b+c)³を加えれば因数分解できます。
このことを利用すれば、(x+y+z)³ +(x+y-3z)³ +(y+z-3x)³ +(z+x-3y)³のような式も比較的簡単に因数分解できます。
この場合はp=1,q=1,r=-3,p+q+r=-1となりますが、(x+y+z)³が入っているので因数分解できます。
また、(2)で面白いのが、-3(pa+qb+rc)(pb+qc+ra)(pc+qa+rb)を加えると、係数の部分にも文字式の部分にも同じ「a³+b³+c³-3abc」が出てくるという点です。
うわぉこれはありがたい