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いい動画だね。この調子でどこまでいくのかな？ 楽しみです。
最後のremarkの例は自由群の作り方と同じように考えた
xとyからなる文字列の中でxとx、yとyが隣り合っていたら消すというルールを設ける
演算は文字列の連結とすれば、単位元は空列、逆元は文字列を逆から並べたもので群となる
xとyは位数２だがxyは位数無限（間違ってたらすまんな）
今回証明した主張とラグランジュの定理からFermatの小定理が導けますね！
合同式、ひいては巡回群で必須のアイデアですね。
パッとですが空間回転とかで最後の反例が割と簡単に作れそうですね