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四則演算だけの未解決問題【コラッツ予想】
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40 thoughts on “四則演算だけの未解決問題【コラッツ予想】 | コラッツに関するすべてのコンテンツが最適です

  1. Ryosuke says:

    自然数nが何回の操作で1になるのかを自動で計算するプログラムを作るプログラミング学習に使えそうですね

  2. katedama/出会い厨P says:

    偶数は2n、奇数は2n+1で表されるなら、その逆でも正のため、奇数の次の数は必ず偶数となる。
    すなわちある奇数をnとすると、n+1は必ず偶数となる。
    3n+1=2n+(n+1)となり、n+1は偶数なので偶数同士の足し算となり、結果奇数の次は必ず偶数となる。
    したがって奇数→偶数→奇数→偶数(交互になる) もしくは奇数→偶数→偶数→偶数...(途中から全て偶数)となる。

    この操作を無限回行った場合、n/2が3n+1よりも大きい場合は発散してしまう。(交互に行われた場合数がどんどん大きくなっていくので1に収束しない)
    n/2>3n+1とするとn>6n+2 nは正の数なので0>5n+2 これは誤りなのでn/2が3n+1より小さい。
    従ってこの操作は必ず収束するので最小の偶数である2の答え(1)に行き着く。

  3. 月と太陽 says:

    逆を辿れば2^xから分岐する。
    分岐した数は素数又は合成数である。
    3の倍数はそれ以上分岐しない。

    整数が2^xか(2^x)×(素数又は合成数)であれば最終的に1になる。
    すべての整数が次の3つのどれかに当てはまれば予想は成立する。
    ・2^x (x≧0)
    ・(2^x)・3(2n−1) (n≧1)
    ・(2^x)・Pn (n≧1:Pn≧5)
    ※Pn=3n+{3−(−1)^n}/2=3n+{3−i^(2n)}/2=3n+{3−cos(nπ)}/2
    (Pnは5以上の素数又は、2組以上の5以上の素数から成る合成数)

  4. 肉まん says:

    2の倍数なら2で割る。3の倍数なら3でわる。どちらでもないなら5倍して1を足す。

    2の倍数なら2で割る。3の倍数なら3で割る。5の倍数なら5で割る。どれでもないなら7倍して1足す。

    2の倍数なら2で割る。3の倍数なら3で割る。5の倍数なら5で割る。7の倍数なら7で割る。どれでもないなら11をかけて1足す。

    素数が無限にあるならどんな数も素因数分解できるわけで、素因数分解して、その素因数を直接削除するのがその素数で割るという作業で、思ってた素数で割れない時は次に大きい素数倍して1足して別の数にしちゃおうぜってやれば素因数分解したら消せるものが出てきて、いつかは1になるだろう。

    コラッツ予想の場合は偶数(2を素因数にもつ)なら2でわる、奇数(2を素因数に持たない)なら3(次に大きい素数)倍して1足すってやってるだけで、そりゃそうじゃねって思った。

    削除する素数の前提を大きくしておけば、大きい数も少ない回数の計算で1に辿り着くだろう?

  5. ナナシ says:

    6から始めたのの後で
    11から始めたのはもう10になった時点で6からのと同じになったのだから略でいいのに
    ちゃんと初めから計算してちゃんと1まで持って行っているの本当に尊敬。
    私なら教えるの面倒くさくなっちゃって(略)で放置しちゃうよ…すごいなぁ
    27から始めるのなんて何度3倍にして1を足すを繰り返した事か…
    5:10 106→54→27 って計算間違いした時に
    「また最初っから?!」って物凄くドキッとしたよ(>_<💦
    良かった53から計算戻ってくれて…でもこれ「27」って言った人
    めちゃくちゃ意地悪ですよね~これはどんなに計算が得意な人でも骨が折れる。

  6. っつぷ。 says:

    自然数に関する別な問題に帰着させることで、解けてしまいました。

    コラッツ予想は、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず 1 に到達します。

    間違いを指摘してもらうため、書き込むのに相応しい場所はどこでしょう?

  7. KEMORIN kem says:

    この手の問題は問題そのものが理解しにくいことが多いのですが、今回は言っていること、やっていることは良く理解できました。

  8. 湯島太郎 says:

    また懲りずに挑戦してみました。今回は割とちゃんとした成果が出ました。

    コラッツ予想は奇数だった時に「3倍して1を足す」操作が複雑なので、まず「2nー1倍して1を足す」操作という風に一般化して、いちばん直感的に簡単そうな「1倍して1を足す」(=ただ1を足すだけ)という簡易コラッツ予想を証明することができるかどうかをためして、本来のコラッツ予想に対するアプローチの仕方を考えてみました。

    ある操作を続けるとすべての正の整数が1になる、これを逆にして、1に対して2倍とー1の操作のみですべての数があらわせることを証明します。

    このとき、2倍する操作は何回も連続できるけれど、ー1する操作は連続してできない(操作するたびに奇数と偶数が変わってしまう)という特性から、この操作を任意の回数繰り返して出てくる数は定量化できて、

    ある数列S(n)において
    S(n) = S(n-1)-N(n) ただし S(n)>N(n)≧1、n、S(0)は任意の数 とおくと

    2^(S(n))-2^(S(n-1))-…-2^(S(1)) …①
    2^(S(n))-2^(S(n-1))-…-2^(S(1))-1 …②

    が簡易コラッツ予想の逆から出てくるすべての数となります。

    直感的に、①が偶数、②がそれにー1した奇数なのは明白なので、「①が全ての偶数をあらわせる」ことを証明すれば簡易コラッツ予想は攻略できる、という事になります。

    S(n)=aと置いたとき、①の最大値は、マイナスの項目をぜんぶとっぱらえばいいので
    ①(max)=2^a

    最小値は、マイナスの項目が最大になるようにすればいいので
    ①(min)=2^a -2^(a-1) -2^(a-2) -2^(a-3)…-2^1 …③
    =2^a – Σ(2^k,k=1,a-1)
    =2^a-(2^a-2)=2
    となります。

    これを見ると、①は最大値2^a、最小値2の任意の偶数にすることが可能なことが分かります。

    操作の回数は条件内なら自由にコントロールできるので、式③における任意の-2^(a-num)を除外すれば
    ③+2^(a-num)=2+2^(a-num)
    の形にすることができます。
    2,4,8,16,32…の自由な組み合わせができるので、2進数コードの要領で、すべての偶数が表現できます。(この辺の知識は浅いのであやふや)

    簡易コラッツ予想の証明おわり。

  9. mikuta shouzan says:

    偶数÷2=偶数、偶数÷2=奇数になったら1を足して偶数にして2で割ったら済む事でしょう、何故3を掛けてややこしくするのですか?

  10. Medi Kero says:

    半分まで見たけどなんか確率論っぽい。そして確率は面積だからそんな感じで解けるはず。
    俺自身は割り算もあまり理解できないんだけど

  11. nEon says:

    奇数の時の3倍して1を足すを5倍して1を足すとループしたわ
    多分奇数×奇数+1は絶対偶数になるから
    そのための操作だと思うから5倍とか7倍とかにしても成り立つかなと思ったらループした

  12. 九条チロル says:

    デカイ数ほど重複する数字がたくさん現れるんだから、重複する確率はデカイ数字ほど100%に近づくのは自明だと思うぜ。
    これはXを∞にしたら1/Xが0には決して到達しないのと同じでしょうめいはできないだろ?天才数学者が言った、何々と予測できるが正解⭕

  13. NEGI calcio says:

    一の位が9で、十の位が奇数の時、
    一の位の9を無視して3倍して1を足し、2で割った後に9をつけても成り立つ。

    (例)
    219→658→329
    219→21→64→32→329

    5779→17338→8669
    5779→577→1732→866→8669

    6歳の息子が発見しました。
    将来有望な息子です(^-^)

  14. いまり says:

    これなんか胡散臭い懸賞金かかってたからせっかくだしチャレンジしてみて、log3/log4って数字が出てきてテンション上がったんだけどタオの論文見たら同じ数字が書いてあって萎えてやめた
    受験数学で諦めた自分にはこれが限界

  15. 湯島太郎 says:

    めちゃくちゃ久しぶりに考え直してわかったこと。

    A(k) = 2^P(k) * A(k-1) + (-1)^P(k)

    (k>=1,N∋k,P(k))
    P(k)が任意の自然数であるとき、A(k)が全ての自然数の値を取るならば、コラッツ予想は正しい。逆にいうとどんなP(k)でもあらわせない自然数があればコラッツ予想は外れ。

  16. Yuki Nagao says:

    いやー
    これ、数字が小さ過ぎて当たり前っぽ過ぎる
    試行回数が無限大なんだから、雪だるま式に借金が増えるように…微妙に減ってくに決まってるよ

    奇数を3倍プラス1したとしても、より大きい偶数の2での割り算が勝つよ

    卵が先でも鶏が先でも、ケンタッキーは鶏だよ

  17. RAIDEN says:

    コラッツ予想的な奴って他にある?どんな数字からやっても特定のルールで1になるシリーズみたいなやつ。

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