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34 thoughts on “楕円の方程式を同値変形で導出[今週の定理・公式No.15] | 関連する知識の概要楕円 方程式最も詳細な

  1. 田中田中 says:

    xとyの方程式
    √((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2|r|(r,c: 実数 )…(*)
    を同値変形する問題は、動画の問題の拡張になっています。これを同値変形していくと、教科書で突然出てくる「r>c>0」という条件の謎が解けるので、疑問に思っている方はやってみると良いです。

    (補足)

    「|r|となっているが、本当に拡張になっているのか」
    と思われるかもしれませんが、なっています。
    動画の問題は、
    √(…)+√(…)=2r
    ⇔√(…)+√(…)=2r∧√(…)+√(…)≧0
    ⇔√(…)+√(…)=2r∧2r≧0
    ⇔√(…)+√(…)=2|r|∧r≧0
    と、(*)の特別な場合になっています。((*)はr: 実数 )

  2. 田中田中 says:

    xとyが独立じゃないですが、個別に-1と1の間っていう結構ガバガバな評価でも、
    (x+|c|)^2+y^2≦4r^2
    が証明できるんですね。
    さっきやったんですが、楕円の媒介変数表示を使って証明することもできました

  3. 田中田中 says:

    最後の評価の4r^2≧(x+c)^2+y^2側ですが、式のみで差し迫るとこうなります

    以下、かなり長いので見たい人だけ続きを読むを押してください

    まず、

    -√(r^2-c^2)≦y≦√(r^2-c^2)

    ⇔|y|≦√(r^2-c^2)

    ⇔y^2≦r^2-c^2

    です。

    最初の同値変形は、古賀さんが出されている同値シリーズの、絶対値の回で出てくるものです。

    ちょっと説明すると、

    -A≦X≦A⇔|x|≦A

    というものです。

    二つ目の変形は、辺々≧0なので、二乗しても同値性は崩れません。

    (x+c)^2の評価はちょっと面倒です。

    -r≦x≦r

    ⇔-r+c≦x+c≦r+c…(1)

    ここで、r>c>0なので、

    -r-c<-r+c

    です。実際、これを変形すると

    c>0

    という正しい条件が出てきます。

    よって、

    (1)

    ⇔-r-c<-r+c≦x+c≦r+c

    ⇒-r-c<x+c≦r+c

    ⇒-r-c≦x+c≦r+c

    ⇔-(r+c)≦x+c≦r+c

    これは、まさにy^2を評価するときと同じ、

    -A≦X≦A

    の形です。なので、

    (1)⇔|x+c|≦r+c

    r>c>0

    ⇒r+c>0

    なので、辺々≧0で、二乗してよく、

    (1)⇔(x-c)^2≦(r-c)^2

    が得られました。

  4. なごや says:

    「PはA,Bからの距離の和が2rである点」が前提条件としてあるので、2r-PBは0以上であることは明らかとして良いのではないでしょうか?

  5. kusagoro says:

    2つの距離の和が2rでそのうち一つを2rから引いたものは正になるから
    A≧0 B≧0
    使えると思うんですけどだめなんですかね

  6. John Smith says:

    動画では ① を得た後 12:45 のように処理していますが,実際には ②,③ を付加する段階(7:3010:05)でそれらが不要であることが示せますので,余力のある人は考えてみると良いかもしれません.

  7. 合八一合のYouTube高校数学 says:

    備忘録👏。【大雑把な 楕円の方程式の導出】a>c>0 として、2定点F(c,0), F(-c,0)からの距離の和
    が2aであるP(x,y)の軌跡を求める。PF+PF'= 2a ⇔ √( (x-c)²+y² ) +√( (x+c)²+y² ) = 2a ・・・①
    『 √ルートを独りぼっちにして ( 両辺 )² 』を 2回する。 b=√( a²-c² ) とおくと a>bで
    ☆ x²/a²+y²/b²=1 ・・・② 逆に ②を満たす (x,y)は、①を満たすから 求める軌跡は、②である。■
    焦点は、( ±√(a²-b²), 0 ), ( 距離の和 )=2a

  8. ボノっチ says:

    組み合わせの数はなぜnCrで導出出来るのですか?
    中学生に教えていて、振り返った時になんでだろうと思いました。よければ今日の公式で取り上げてください。

  9. it says:

    間違っていたら、申し訳ないのですが
    5:12ぐらいの時に、2r-√が正であることの証明は難しいと言ってたのですが、
    上から2行目の√+√=2rの形から、
    √<2rと言えないでしょうか?
    √が負になることはないですし、
    rは正と仮定しているので、
    3行目の右辺も正と言えると思います

    間違いがありましたら、ご指摘
    お願いします!!!

  10. M T says:

    7:39秒あたりの同値の話ですが、√{(x-c)^2+y^2}でx,c,yが実数ならば二乗の和の形なので√の中身は0以上であり、+√の形なので左辺は0以上、よってA=BでA≧0だからB≧0は自明で2r-√{(x+c)^2+y^2}≧0は自然に成り立っているので、この式を書かなくても同値というのはまずいですか?

  11. 瀬戸口雛 says:

    高校の教科書では,こういう時,「逆も成り立つ」の一言で誤魔化してしまうので,このようにきちんとやって いただいてありがとうございます😊

  12. _ SiIvaa says:

    お疲れ様です。古賀さんの動画将来、授業とかで使われそう…。自分だったら使いたくなる。。(その時はお金払うけどw)

  13. MT 数学・数学史 says:

    自分が高校生のときこれを疑問に思って、今でこそ最後の方で解説されているような事が丁寧に書かれている参考書や、それこそこのような有り難い動画もあるのですが、当時自力でこれをきちんと詰めて考えたことを思い出しました。懐かしさを覚えたと同時に、こんな動画が当時欲しかったと思いますね。

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