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相関係数の値は-1以上1以下である【コーシーシュワルツ不等式から証明】
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18 thoughts on “相関係数の値は-1以上1以下である【コーシーシュワルツ不等式から証明】 | 相 関係 数 証明に関する最も詳細な文書を取り上げました

  1. えすのん says:

    X, Y:確率変数
    E[X]=μ, V[X]=σ², E[Y]=ν, V[Y]=τ²
    としたときに、
    E[ { (X-μ)/σ ± (Y-ν)/τ }² ] ≧0
    この自明な不等式を利用して – 1≦ρ(X,Y)≦1 が証明できるみたいです。

  2. taroo hana says:

    偏差を成分にもつ 2つのベクトルに対して

     cosθ=内積/(大きさ×大きさ)=相関係数r

    より -1≦r≦1 でスッキリしました。

  3. Ttiija says:

    分かりやすい動画ありがとうございます。とても深く理解できました。
    分散を平均値で割る変異係数と同じように共分散もxの平均値とyの平均値を掛けたものを割って相関係数を出しても良いのではと思ってましたが、相関係数を−1以上1以下に収めて表すためにxの標準偏差とyの標準偏差を掛けたもので割ったという考えは間違っていないでしょうか。

  4. Nui Nuix says:

    偏差をベクトルとして見ると相関係数はベクトル1と2の内積/(ベクトル1の絶対値)(ベクトル2の絶対値)=cos(ベクトル1と2のなす角)になるのね

  5. ρロール says:

    n次元ベクトルでも証明できると知った時一気に視野が広がったと知覚した高田健志

  6. たいやき says:

    rが‐1以上1以下である証明は、(不等式公式を習ってないので仕方がないですが)授業では説明されず、教科書にも青チャートにもなかったので、非常に助かりました。ありがとうございます。

  7. Itaタクヤ says:

    今日学校で、共分散と相関係数を数1で習いました。先生も50分で多人数に教えられないのか、公式だけ書いて後はひたすら問題演習ばっかりでモヤモヤしていたので助かりました。式を何故その形に決めたのかの意図がよくわかって嬉しかったです。

  8. kanisan papa says:

    三角形の余弦定理と、ベクトルの内積と、相関係数と、コーシー・シュワルツの不等式は、みんな同じことを言っていると思うようになりました

  9. Oka says:

    これ実に線型代数の恩恵を受けているんだなーってわかりました。
    σ_(xy)/(σ_x)(σ_y)=Σ((x_i-(x平均))(y_i-(y平均)))/sqrt(Σ(x_i-(x平均)))sqrt(Σ(y_i-(y平均)))より、この式はまさに(x_1-(x平均),x_2-(x平均),x_3-(x平均),…)、(y_1-(y平均),y_2-(y平均),y_3-(y平均),… )という2つのベクトルの内積を表している訳ですね。
    よってコサイン類似度の1つですかね。

  10. 合八一合のYouTube数学 says:

    備忘録2周目👏。【 ⭕️コーシーシュワルツの不等式の証明 】平方完成集合の 2次関数 f(t)を
    思いつくのが急所 (よく思いつくなぁ) → それさえ思いつけば、 ☆ 判別式≦0 は 明白 ■
    🟢 f(t)=(x₁-y₁t)²+・・・+(xᵣ-yᵣt)² ≧0 とおく。f(t)=(x₁²+・・+xᵣ²)-2 (x₁y₁+・・+xᵣyᵣ) ×t+(y₁²+・・+yᵣ²) ×t²
    🔴 D/4= (x₁y₁+・・+xᵣyᵣ)² -(x₁²+・・+xᵣ²)(y₁²+・・+yᵣ²) ≦0
    ⚫️ ⇔ (x₁y₁+・・+xᵣyᵣ)² ≦ (x₁²+・・+xᵣ²)(y₁²+・・+yᵣ²)

  11. やたつ says:

    これ学校では「定義だから」としか教えてくれなくて、そんなうまく-1から1に収まるのか??とか思ってた

  12. sasanquaさざんか says:

    教科書を見ても、相関係数をどうしてxとyの分散の積で割るのか詳しく書いてくれてなくて、疑問に思って「相関係数」で検索したらこの動画に出会いました。
    分かりやすい解説、本当にありがとうございます。

  13. キジネコたま says:

    興味深い動画ありがとうございます。最近の投資は長期分散投資が推奨されていますが、その中でアセットアロケーションを組む上でも相関係数が出てきます。また、日本の株価と為替レートは相関が非常に高いことが知られており、円安になると株価が騰がるなどは常識となっています。

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